@@ -134,7 +134,7 @@ Dieses erste Kapitel der Veranstaltung setzt einige Kenntnisse der Graphentheori
Hier sollte deutlich werden, dass das Stable Marriage Problem äquivalent zum Stable Matching Problem in bipartiten Graphen ist.
Das ``Reduzieren'' von Problem aus der Realität auf Probleme z.B. der Graphentheorie ist eine weit verbreitete Technik. Man folgt der Idee: Wenn man einen Algorithmus A hat, der ein (abstraktes) (Graphen-)Problem X löst, und ein reales Problem Y auf das Problem X reduzierbar (oder äquivalent) ist, dann kann man auch Problem Y mit dem Algorithmus A lösen.
\paragraph{Reduktion}\label{reduction}Das ``Reduzieren'' von Problem aus der Realität auf Probleme z.B. der Graphentheorie ist eine weit verbreitete Technik. Man folgt der Idee: Wenn man einen Algorithmus A hat, der ein (abstraktes) (Graphen-)Problem X löst, und ein reales Problem Y auf das Problem X reduzierbar (oder äquivalent) ist, dann kann man auch Problem Y mit dem Algorithmus A lösen.
\subsection{Exkurs: Stable Roommate Problem}
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@@ -1617,7 +1617,141 @@ Auch hier stellt sich die Frage, wie der Gewinn fair auf die einzelnen Firmen au
\section{Networkflow und Project Selection}
... \textit{folgt zeitnah} ...
\subsection{Netzwerkflüsse}
Netzwerkflüsse werden oft benutzt, wenn es darum geht, einen ``Fluss'' von Gütern, Fahrzeugen, Nachrichten usw. in einem ``Netzwerk'' bestehend aus z.B. Bahnhöfen, Häfen, Sendemasten, Straßen(-Kreuzungen) zu modellieren. Das folgende Kapitel über Project Selection baut auf diesem Konzept auf. Die Grundlagen für Maximale (Netzwerk-)Flüsse und den Zusammenhang mit dem minimalen Schnitt werden an dieser Stelle vorausgesetzt, können aber bei Bedarf z.B. in den Folien der Veranstaltung ``Quantitative Methoden'' oder auch in der Vorlesung zu Netzwerkflüssen in dieser Veranstaltung nachgeschlagen werden.
Der wichtigste Satz sei hier jedoch noch einmal erwähnt:
\begin{theo}{Max-Flow-Min-Cut}
Für einen Graphen $G =(V,E)$ mit Quelle $s$ und Senke $t$ und einem Fluss $f$, sowie $D_f$ der zugehörige Residualgraph von $G$, gilt:
\tab Fluss $f$ hat maximalen Wert $\Leftrightarrow$ kein augmentierender Pfad im Residualgraphen $D_f$
Darüber hinaus gilt: \[\max\{val(f) | f \text{ist s-t-Fluss}\}=\min\{cap(S) | S \subseteq V \ \{t \}, s\in S \]
\item Menge $P$ Projekten, die potenziell bearbeitet werden können
\item Jedes Projekt $j$ ist ein Wert (Revenue) $w_j \in\mathbb{R}$ zugewiesen
\item$w_j < 0$ werden als Kosten und $ w_j \geq0$ als Gewinn des Projekts $j \in P$ interpretiert
\item\emph{Precedence constraints} vom Typ $ i \prec j$ zwischen Projekten $i,j$ meint, dass wenn $i \prec j$ gilt, dann kann Projekt $j$ nur dann ausgewählt werden, wenn auch Projekt $i$ ausgewählt wird. Projekt $i$ ist dann der \emph{Vorgänger (predecessor)} von $j$ genannt
\item Eine Projektauswahl $S \subseteq P$ ist \emph{zulässig}, wenn für jedes $j \in S$ auch alle Vorgänger von $j$ ebenfalls zu $S$ gehören
\end{itemize}
\end{defi}
Das Ziel im Project Selection (Max Weight Closure) Problem ist es nun, aus einer Menge $P$ an Projekten wie oben definiert eine zulässige Teilmenge $S \subseteq P$ zu wählen, sodass der Gewinn $\sum_{i \in S} w_i$ maximiert wird.
\subsubsection{Precedence Graph und Hasse Diagramm}
Wir machen uns nun die obige Definition zu nutze in dem wir das Project Selection Problem zu einem Graph Problem umwandeln (siehe auch \nameref{reduction}). Dafür brauchen wir zunächst den ``precedence graph (PG)'', der die Projekte aus $P$ als Knoten darstellt und genau dann eine gerichtete Kante $(j,i)$ von einem Knoten $j$ zu einem Knoten $i$ enthält, wenn $ i \prec j$ gilt.
\textbf{Wichtig}: $i \prec j$ meint, dass Projekt $j$ nur dann ausgewählt werden kann, wenn auch $i$ ausgewählt wird. Im PG wird jedoch eine Kante $(j,i)$ dafür gezogen. Das heißt, dass die ausgehenden Kanten eines Knoten $j$ auf alle Projekte zeigen, die ausgewählt werden müssen, damit auch $j$ ausgewählt werden kann. Stehen zwei Projekte nicht in Relation durch $\prec$, so existiert auch keine Kante im PG zwischen diesen.
\begin{halfboxl}
\boxspace
\begin{bsp}{Project Selection - Precedence Graph}
Sei $P' =\{a,b,c,d,e\}$ eine Projektmenge mit $a \prec b,\, a \prec c,\, a \prec d$ und $ d \prec c$. Der PG von $P'$ sieht dann wie folgt aus:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (a) at (1.5,0) {$a$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (b) at (0,0) {$b$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (c) at (0,-1.5) {$c$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (d) at (1.5,-1.5) {$d$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (e) at (-1.25,-0.75) {$e$};
\draw[->] (b) -- (a) ;
\draw[->] (c) -- (a) ;
\draw[->] (c) -- (d) ;
\draw[->] (d) -- (a) ;
%\draw[->] (2) -- (1) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{bsp}
\end{halfboxl}%
\begin{halfboxr}
\boxspace
\begin{bsp}{Project Selection - Hasse Diagramm}
Sei $P' =\{a,b,c,d,e\}$ eine Projektmenge mit $a \prec b,\, a \prec c,\, a \prec d$ und $ d \prec c$. Das HD von $P'$ sieht dann wie folgt aus:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (a) at (1.5,0) {$a$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (b) at (0,0) {$b$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (c) at (0,-1.5) {$c$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (d) at (1.5,-1.5) {$d$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (e) at (-1.25,-0.75) {$e$};
\draw[->] (b) -- (a) ;
%\draw[->] (c) -- (a) ;
\draw[->] (c) -- (d) ;
\draw[->] (d) -- (a) ;
%\draw[->] (2) -- (1) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{bsp}
\end{halfboxr}
Wie man in dem PG links sieht, hängt $c$ von $d$ und $a$ ab und $d$ von $a$. Wir können die Kante $(c,a)$ weglassen, weil die $\prec$-Relation transitiv ist: $c$ kann nur ausgewählt werden, wenn wir $a$ und $d$ auswählen, aber $d$ fordert auch die Wahl von $a$. Wenn also $d$ auswählen wollen, ist $a$ nach Definition auch auszuwählen. Dadurch können wir auch $c$ auswählen. Die Kantenfolge $(c,d), (d,a)$ drückt also implizit auch $(c,a)$ aus.
Die Version des PGs auf der rechten, die man auch \emph{Hasse Diagram (HD)} nennt, spart uns die Kante $(c,a)$, da diese keinen Mehrwert an Information liefert. Ein HD ist also ein PG ohne transitive Kanten.
\subsubsection{Min Cut Formulierung}
Um nun eine Gewinn-maximierende Auswahl an Projekten zu finden, erweitern wir die Konstruktion des Hasse Diagramms um weitere Komponenten zu einem Flussnetzwerk. Dazu verwenden wir die \emph{min cut formulation}:
\begin{defi}{Min Cut Formulation}
\begin{itemize}
\item Kapazität $\infty$ auf allen Kanten des \textbf{Hasse Diagramms}
\item Füge eine Quelle $s$ und eine Senke $t$ hinzu
\item Füge Kanten $(s,j)$ mit Kapazität $w_j$ für jedes Projekt $j$ aus $P^+ :=\{j \in P | w_j \geq0\}$ - die Menge alle Projekte, die Gewinn bringen - hinzu.
\item Füge Kanten $(j,t)$ mit Kapazität $- w_j$ für jedes Projekt $j$ aus $P^- :=\{j \in P | w_j \geq0\}$ - die Menge alle Projekte, die Verlust bringen - hinzu.
\item Zur Vereinfachung der Notation ist $w_s = w_t =0$
\end{itemize}
\end{defi}
Angewendet auf unser vorheriges Beispiel $P'$, wobei nun auch die Revenues definiert werden, ergibt sich also folgendes Flussnetzwerk:
\begin{bsp}{Project Selection: Flussnetzwerk}
Sei $P' =\{a,b,c,d,e\}$ eine Projektmenge mit $a \prec b,\, a \prec c,\, a \prec d$ und $ d \prec c$. Außerdem sei $w_a =3, \, w_b =-2, \, w_c =6, \, w_d =-4, \, w_e =2$. Das Flussnetzwerk von $P'$ in der min-cut-Formulierung sieht dann wie folgt aus:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (a) at (4,0) {$a$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (b) at (2.5,0) {$b$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (c) at (2.5,-2) {$c$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (d) at (4,-2) {$d$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (e) at (1.5,-1) {$e$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (s) at (0,-1) {$s$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (t) at (5.5,-1) {$t$};
