@@ -1272,7 +1272,7 @@ Der folgende Abschnitt behandelt das Key-Lemma, welches für den Beweis der Korr
Annahmen:
\begin{itemize}
\item Es gibt für zwei Objekte $u$ und $v$ einen Distanzwert $d(u,v)$, der die Ähnlichkeit bzw. Unterschiedlichkeit zwischen $u$ und $v$ beschreibt
\item Es gibt für zwei Objekte $u$ und $v$ einen Distanzwert $d(u,v)$, der die Ähnlichkeit bzw. Unterschied-lichkeit zwischen $u$ und $v$ beschreibt
\item Das Distanzmaß ist symmetrisch, d.h. $d(u,v)= d(v,u)$ für alle Objektpaare $\{u,v\}$
\item Die Objekte sollen in $k$ Cluster eingeteilt werden
\end{itemize}
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@@ -1388,13 +1388,14 @@ Alles klar? Dann können wir ja weitermachen.
\subsubsection{Nash Gleichgewichte}
\begin{defi}{Reines Nash Gleichgewicht}
Ein Profil $x =(x_1, \dots, x_n)$ ist ein reines Nash Gleichgewicht, wenn kein Spieler ein Anreiz hat, seine Strategie zu wechseln, unter der Annahme, dass die übrigen Spieler bei ihren aktuelle Strategien bleiben. Mathematisch ausgedrückt
Ein Profil $x =(x_1, \dots, x_n)$ ist ein reines Nash Gleichgewicht, wenn kein Spieler ein Anreiz hat, seine Strategie zu wechseln, unter der Annahme, dass die übrigen Spieler bei ihren aktuelle Strategien bleiben. Mathematisch ausgedrückt:
Ein Profil $x =(x_1, \dots, x_n)$ ist ein reines Nash Gleichgewicht, wenn für jeden Spieler $i \in N$ gilt:
Ein Profil $x =(x_1, \dots, x_n)$ ist ein reines Nash Gleichgewicht für ein \emph{Kostenspiel}, wenn für jeden Spieler $i \in N$ gilt:
\begin{center}
$u_i(x)\leq u_i(x'_i$$, x_{-i})$ für alle $x'_i \in X_i$
\end{center}
\[ u_i(x)\leq u_i(x'_i \text{}, x_{-i})\text{ für alle } x'_i \in X_i \]
\textit{Bei Nutzenspielen wird das Ungleich-Zeichen entsprechend zu $\geq$.}
$x_{-i}$ bezeichnet das Profil $x$, aus der die Strategie von Spieler $i$ ``gestrichen'' wurde (deswegen das $-i$). $(x'_i, x_{-i})$ ist dann das Profil, aus dem die alte Strategie $x_i$ von Spieler $i$ gestrichen wurde und eine andere $x'_i$ hinzugefügt wurde.
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\end{itemize}
Jeder Spieler $i$ wählt als Strategie einen der möglichen $s_i$ - $t_i$-Pfade im Graphen $G$. Das Profil $P =(P_1, \dots, P_n)$ besteht dann aus den jeweiligen Pfaden $P_i$, den jeder Spieler $i$ gewählt hat.
Weiter wird mit $I_e(P)$ die ``Last'', die auf Kante $e$ liegt, bezeichnet und ist die Anzahl aller Spieler $i$, die die Kante $e$ in ihrem Pfad $P_i$ haben.
\end{defi}
\begin{halfboxl}
\boxspace
\begin{theo}{Beispiel von Pigou}
Das nebenstehende Beispiel, benannt nach Pigou, zeigt, dass eigennütziges Verhalten von Spielern zu einer schlechteren Situation für alle führen kann:
\begin{itemize}
\item 1000 Spieler wollen von $s$ nach $t$ reisen
\item Die grüne obere Route dauert für jeden Spieler, unabhängig von der Anzahl der Spieler, stets 1001 Zeiteinheiten
\item Die Reisezeit auf der unteren Route wächst linear mit der Anzahl der Spieler, die diese Route nehmen. Jeder Spieler benötigt also $x$ Zeiteinheiten.
\item Da jeder Spieler eigensinnig denkt, nimmt jeder den roten Pfad, da die Zeit $x =1$ niedriger ist als 1001 (Ein einzelner Spieler weiß ja nicht, welchen Weg die anderen wählen, darum nimmt er an, er ist der einzige, der den roten Pfad nimmt).
\end{itemize}
\end{theo}
\end{halfboxl}%
\begin{halfboxr}
\boxspace
Graphbeispiel Pigou:
\begin{tikzpicture}
\node[draw,circle,minimum size=5mm, label = left:{$n = 1000$}] (s) at (0,0) {$s$};
\node[draw,circle,minimum size=5mm] (t) at (4,0) {$t$};
Das soziale Optimum eines Routingspiels ist das Profil, wo die Kosten aller Spieler aufsummiert minimal sind. Allgemein nennt man die Summe der Kosten aller Spieler auch \emph{Soziale Kosten}
\end{defi}
\begin{defi}{Price of Anarchy}
Der \emph{Price of Anarchy (PoA)} (etwa: Preis der Eigensinnigkeit) ist das Verhältnis von den maximalen Sozialen Kosten eines Nash-Gleichgewichts zu dem optimalen sozialen Kosten.
\end{defi}
\end{halfboxr}
In dem Graphbeispiel sieht man folgendes:
\begin{itemize}
\item Alle Spieler wählen die untere Route, und jeder Spieler hat Kosten von 1000 Zeiteinheiten. Die Sozialen Kosten betragen $1000\cdot1000=1.000.000$
\item Das Soziale Optimum hingegen ist, wenn sich die Spieler gleichmäßig auf beide Routen aufteilen. Dann wären die sozialen Kosten $500\cdot1001+500\cdot500=750.500$
\item Der PoA ist hier also $\frac{1.000.000}{750.500}\approx1, 33245$
\end{itemize}
\begin{theo}{PoA in Routing Spielen}
Der PoA in Routing Spielen, wo die Kostenfunktion jeder Kante $e$ linear ist, also von der Form $c_e(x)= a_e(x)+ b_e$, ist niemals größer als $\frac{4}{3}$.
\end{theo}
\todo[inline]{Braess' Parodoxon}
\begin{theo}{Gleichgewicht in Routing-Spielen}
Das hier betrachtete Modell von Routing-Spielen geht auf Rosenthals ``Congestion Games'' zurück und wird daher auch das \emph{Rosenthal-Modell} genannt.
Routing-Spiele im Rosenthal-Modell besitzen stets ein Gleichgewicht.
\end{theo}
\subsubsection{Potenzialfunktion für Routingspiele}
Die folgende Potenzialfunktion $\phi$ wird für den Beweis des vorangegangen Satzes verwendet. Der Beweis wird hier jedoch weggelassen.
\begin{defi}{Potenzialfunktion}
Die folgende Potenzialfunktion $\Phi$ weist jedem Profil $P =(P_1, \dots , P_n)$ einen Wert $\Phi(P)$ zu:
\todo[inline]{Potenzialfunktion erklären, eventuell Beweis für Gleichgewichte mit reinbringen?}
\subsection{Kooperative Spiele}
Im folgenden wird davon ausgegangen, dass die Spieler nicht eigennützig denken, sondern grundsätzlich bereit zur Kooperation sind, solange es ihnen einen Vorteil verschafft.
\begin{defi}{Modell kooperativer Spiele}
\begin{itemize}
\item Es gibt eine endliche Menge $N =\{1, \dots , n\}$ an Spielern
\item Zu jeder Teilmenge (\emph{Koalition}) $S$ der Spielermenge $N$ gibt es einen Wert $v(s)$
\end{itemize}
Je nach Kontext gilt für den Wert $v(S)$:
\begin{itemize}
\item Kooperatives Kostenspiel: der Wert $v(S)$ beschreibt die Kosten, die allein durch die Spieler der Menge $S$ verursacht werden
\item Kooperatives Nutzenspiel: der Wert $v(S)$ beschreibt den Gewinn, der allein durch die Spieler der Menge $S$ erwirtschaftet werden kann
