diff --git a/ems.tex b/ems.tex index bc46b748fffb6b2ede62f8c40644370b91b12fe3..34d4b1bdb2c0036d257d2960e5a77ead411bda70 100644 --- a/ems.tex +++ b/ems.tex @@ -1272,7 +1272,7 @@ Der folgende Abschnitt behandelt das Key-Lemma, welches für den Beweis der Korr Annahmen: \begin{itemize} - \item Es gibt für zwei Objekte $u$ und $v$ einen Distanzwert $d(u,v)$, der die Ähnlichkeit bzw. Unterschiedlichkeit zwischen $u$ und $v$ beschreibt + \item Es gibt für zwei Objekte $u$ und $v$ einen Distanzwert $d(u,v)$, der die Ähnlichkeit bzw. Unterschied-lichkeit zwischen $u$ und $v$ beschreibt \item Das Distanzmaß ist symmetrisch, d.h. $d(u,v) = d(v,u)$ für alle Objektpaare $\{u,v\}$ \item Die Objekte sollen in $k$ Cluster eingeteilt werden \end{itemize} @@ -1388,13 +1388,14 @@ Alles klar? Dann können wir ja weitermachen. \subsubsection{Nash Gleichgewichte} \begin{defi}{Reines Nash Gleichgewicht} - Ein Profil $x = (x_1, \dots, x_n)$ ist ein reines Nash Gleichgewicht, wenn kein Spieler ein Anreiz hat, seine Strategie zu wechseln, unter der Annahme, dass die übrigen Spieler bei ihren aktuelle Strategien bleiben. Mathematisch ausgedrückt + Ein Profil $x = (x_1, \dots, x_n)$ ist ein reines Nash Gleichgewicht, wenn kein Spieler ein Anreiz hat, seine Strategie zu wechseln, unter der Annahme, dass die übrigen Spieler bei ihren aktuelle Strategien bleiben. Mathematisch ausgedrückt: - Ein Profil $x = (x_1, \dots, x_n)$ ist ein reines Nash Gleichgewicht, wenn für jeden Spieler $i \in N$ gilt: - - \begin{center} - $u_i(x) \leq u_i(x'_i$ $, x_{-i})$ für alle $x'_i \in X_i$ - \end{center} + Ein Profil $x = (x_1, \dots, x_n)$ ist ein reines Nash Gleichgewicht für ein \emph{Kostenspiel}, wenn für jeden Spieler $i \in N$ gilt: + + + \[ u_i(x) \leq u_i(x'_i \text{ }, x_{-i}) \text{ für alle } x'_i \in X_i \] + +\textit{Bei Nutzenspielen wird das Ungleich-Zeichen entsprechend zu $\geq$.} $x_{-i}$ bezeichnet das Profil $x$, aus der die Strategie von Spieler $i$ ``gestrichen'' wurde (deswegen das $-i$). $(x'_i, x_{-i})$ ist dann das Profil, aus dem die alte Strategie $x_i$ von Spieler $i$ gestrichen wurde und eine andere $x'_i$ hinzugefügt wurde. @@ -1417,9 +1418,99 @@ Alles klar? Dann können wir ja weitermachen. \end{itemize} Jeder Spieler $i$ wählt als Strategie einen der möglichen $s_i$ - $t_i$-Pfade im Graphen $G$. Das Profil $P = (P_1, \dots, P_n)$ besteht dann aus den jeweiligen Pfaden $P_i$, den jeder Spieler $i$ gewählt hat. + +Weiter wird mit $I_e(P)$ die ``Last'', die auf Kante $e$ liegt, bezeichnet und ist die Anzahl aller Spieler $i$, die die Kante $e$ in ihrem Pfad $P_i$ haben. +\end{defi} + +\begin{halfboxl} + \boxspace +\begin{theo}{Beispiel von Pigou} + Das nebenstehende Beispiel, benannt nach Pigou, zeigt, dass eigennütziges Verhalten von Spielern zu einer schlechteren Situation für alle führen kann: + + \begin{itemize} + \item 1000 Spieler wollen von $s$ nach $t$ reisen + \item Die grüne obere Route dauert für jeden Spieler, unabhängig von der Anzahl der Spieler, stets 1001 Zeiteinheiten + \item Die Reisezeit auf der unteren Route wächst linear mit der Anzahl der Spieler, die diese Route nehmen. Jeder Spieler benötigt also $x$ Zeiteinheiten. + \item Da jeder Spieler eigensinnig denkt, nimmt jeder den roten Pfad, da die Zeit $x = 1$ niedriger ist als 1001 (Ein einzelner Spieler weiß ja nicht, welchen Weg die anderen wählen, darum nimmt er an, er ist der einzige, der den roten Pfad nimmt). + \end{itemize} +\end{theo} +\end{halfboxl}% +\begin{halfboxr} + \boxspace + Graphbeispiel Pigou: + + \begin{tikzpicture} + \node[draw,circle,minimum size=5mm, label = left:{$n = 1000$}] (s) at (0,0) {$s$}; + + \node[draw,circle,minimum size=5mm] (t) at (4,0) {$t$}; + + \draw[->,thick,black!20!red] (s.315) to[bend right] (t.225) node[below right]{$c(x) = x$}; + \draw[->,thick,black!30!green] (s.45) to[bend left] (t.135) node[above right]{$c(x) = 1001$}; + \end{tikzpicture} + + \begin{defi}{Soziales Optimum und Soziale Kosten} + Das soziale Optimum eines Routingspiels ist das Profil, wo die Kosten aller Spieler aufsummiert minimal sind. Allgemein nennt man die Summe der Kosten aller Spieler auch \emph{Soziale Kosten} + \end{defi} + + \begin{defi}{Price of Anarchy} + Der \emph{Price of Anarchy (PoA)} (etwa: Preis der Eigensinnigkeit) ist das Verhältnis von den maximalen Sozialen Kosten eines Nash-Gleichgewichts zu dem optimalen sozialen Kosten. + \end{defi} +\end{halfboxr} + +In dem Graphbeispiel sieht man folgendes: + +\begin{itemize} + \item Alle Spieler wählen die untere Route, und jeder Spieler hat Kosten von 1000 Zeiteinheiten. Die Sozialen Kosten betragen $1000 \cdot 1000 = 1.000.000$ + \item Das Soziale Optimum hingegen ist, wenn sich die Spieler gleichmäßig auf beide Routen aufteilen. Dann wären die sozialen Kosten $500 \cdot 1001 + 500 \cdot 500 = 750.500$ + \item Der PoA ist hier also $\frac{1.000.000}{750.500} \approx 1, 33245$ +\end{itemize} + +\begin{theo}{PoA in Routing Spielen} + Der PoA in Routing Spielen, wo die Kostenfunktion jeder Kante $e$ linear ist, also von der Form $c_e(x) = a_e(x) + b_e$, ist niemals größer als $\frac{4}{3}$. +\end{theo} + +\todo[inline]{Braess' Parodoxon} + +\begin{theo}{Gleichgewicht in Routing-Spielen} + Das hier betrachtete Modell von Routing-Spielen geht auf Rosenthals ``Congestion Games'' zurück und wird daher auch das \emph{Rosenthal-Modell} genannt. + + Routing-Spiele im Rosenthal-Modell besitzen stets ein Gleichgewicht. +\end{theo} + +\subsubsection{Potenzialfunktion für Routingspiele} + +Die folgende Potenzialfunktion $\phi$ wird für den Beweis des vorangegangen Satzes verwendet. Der Beweis wird hier jedoch weggelassen. + +\begin{defi}{Potenzialfunktion} + Die folgende Potenzialfunktion $\Phi $ weist jedem Profil $P = (P_1, \dots , P_n)$ einen Wert $\Phi (P)$ zu: + + \[\Phi (P) = \sum_{e \in E} \sum_{t = 0 }^{l_e(P)} c_e(t) \] \end{defi} +\todo[inline]{Potenzialfunktion erklären, eventuell Beweis für Gleichgewichte mit reinbringen?} + +\subsection{Kooperative Spiele} +Im folgenden wird davon ausgegangen, dass die Spieler nicht eigennützig denken, sondern grundsätzlich bereit zur Kooperation sind, solange es ihnen einen Vorteil verschafft. +\begin{defi}{Modell kooperativer Spiele} + \begin{itemize} + \item Es gibt eine endliche Menge $N = \{1, \dots , n\}$ an Spielern + \item Zu jeder Teilmenge (\emph{Koalition}) $S$ der Spielermenge $N$ gibt es einen Wert $v(s)$ + \end{itemize} + + Je nach Kontext gilt für den Wert $v(S)$: + + \begin{itemize} + \item Kooperatives Kostenspiel: der Wert $v(S)$ beschreibt die Kosten, die allein durch die Spieler der Menge $S$ verursacht werden + \item Kooperatives Nutzenspiel: der Wert $v(S)$ beschreibt den Gewinn, der allein durch die Spieler der Menge $S$ erwirtschaftet werden kann + \end{itemize} +\end{defi} + +\subsubsection{Facility Location Game} + +\begin{defi}{Facility Location Game} + Inhalt... +\end{defi} \section{Networkflow und Project Selection}