scalar and scalar_v2 report written

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+<mxfile host="app.diagrams.net" modified="2023-03-22T13:38:53.641Z" agent="5.0 (X11; Linux x86_64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/108.0.0.0 Safari/537.36 OPR/94.0.0.0" etag="xBpTGR0YwZkJDvkjXnxN" version="21.0.10" type="device"><diagram name="Page-1" id="YJc13scc1QEeo-7yx8Do">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</diagram></mxfile>
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report/tex/all.tex

@@ -6,7 +6,7 @@ Bei der Entwicklung der Bibliothek wurde auch die Softwarebibliothek namens Eige
 
 \newpage 
 
-Die Dateistruktur des Projekts sieht folgendermaßen aus:
+Die Dateistruktur des Projekts sieht folgendermaßen auss:
 
 \begin{itemize}
     \item \textbf{source} -- der Hauptcode der Bibliothek, der sowohl wissenschaftliche Berechnungen als auch sekundären Code enthält, der für die Funktionsfähigkeit erforderlich ist
@@ -221,7 +221,7 @@ Auf der Abbildung \ref{fig:potential-rectangular-2} ist eine Visualisierung der
 \newpage
 \chapter{potential\_warped}
 
-Die in vorherigen Paragraf beschriebe Methode ist durch die rechteckige Form des Gebiets limitiert. Eine Möglichkeit, diese Begrenzung umzugehen, ist den rechteckigen Gebiet durch vorgegebene Funktionen zu verkrümmen. So werden die Punkte nicht in gleichmäßig $x$-$y$ auf Raum gelegen, sondern auf $\xi$-$\eta$ Raum. Die $x(\xi, \eta)$ und $y(\xi, \eta)$ sind nun die Funktionen von $\xi$ und $\eta$ gegeben.
+Die in vorherigen Kapitel beschriebe Methode ist durch die rechteckige Form des Gebiets limitiert. Eine Möglichkeit, diese Begrenzung umzugehen, ist den rechteckigen Gebiet durch vorgegebene Funktionen zu verkrümmen. So werden die Punkte nicht in gleichmäßig $x$-$y$ auf Raum gelegen, sondern auf $\xi$-$\eta$ Raum. Die $x(\xi, \eta)$ und $y(\xi, \eta)$ sind nun die Funktionen von $\xi$ und $\eta$ gegeben.
 
 Eine schematische Abbildung von solchen Gitter ist auf Bild \ref{fig:potential-warped-1} gezeigt. Dabei sind die roten Punkte die `freien` Punkte, die blauen Punkte sind die Punkten, auf den die Dirichlet-Bedingung gilt, und die grüne Punkte sind die Punkte mit Neumann-Bedingung ($\dfrac{\partial \phi}{\partial \eta} = 0$).
 
@@ -253,7 +253,7 @@ Aus Gleichungen \ref{eq:potential-warped-1} kann man Gleichungen \ref{eq:potenti
         \Delta \phi = \dfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = \Big( a_1 \dfrac{\partial^2}{\partial \xi^2} + a_2 \dfrac{\partial^2}{\partial \eta^2} + a_3 \dfrac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta} + a_4 \dfrac{\partial}{\partial \xi} + a_5 \dfrac{\partial}{\partial \eta} + a_6 \Big) \phi \\
         a_1 = (\dfrac{\partial \xi}{\partial x})^2 + (\dfrac{\partial \xi}{\partial y})^2 \\
         a_2 = (\dfrac{\partial \eta}{\partial x})^2 + (\dfrac{\partial \eta}{\partial y})^2 \\
-        a_3 = 2 \dfrac{\partial \xi}{\partial x}\dfrac{\partial \eta}{\partial x} + \dfrac{\partial \xi}{\partial y}\dfrac{\partial \eta}{\partial y} \\
+        a_3 = 2 \dfrac{\partial \xi}{\partial x}\dfrac{\partial \eta}{\partial x} + 2 \dfrac{\partial \xi}{\partial y}\dfrac{\partial \eta}{\partial y} \\
         a_4 = \dfrac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 \xi}{\partial y^2} \\
         a_5 = \dfrac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 \eta}{\partial y^2} \\
         a_6 = 0
@@ -470,14 +470,14 @@ Für beide `freie` und Neumann-Punkte gilt eine Iterationsschritt \ref{eq:potent
     \end{split}
 \end{equation}
 
-Das weitere Vorgehen folgt wie in vorherigen Paragrafen.
+Das weitere Vorgehen folgt wie in vorherigen Kapiteln.
 
 \newpage
 \section{Beispiel 1}
 
 Bei Kalkulation der Koordinaten von Gitterelementes wird es angenommen, dass die Seite von einem Element (Quadrat, Dreieck oder Hexagon) zum $1$ gleich ist, und weiter wird diese Koordinate durch entsprechende Koeffizienten $s_x$ und $s_y$ bezeichnet. Hier und weiter wird überall das quadratische Gitter benutzt.
 
-Beispiel 1 wiederholt den ersten Beispielen aus den vorherigen Paragrafen. Die obere und die untere Grenze sind die Neumann-Grenzen und die linke und rechte sind Dirichlet-Grenzen.
+Beispiel 1 wiederholt den ersten Beispielen aus den vorherigen Kapitel. Die obere und die untere Grenze sind die Neumann-Grenzen und die linke und rechte sind Dirichlet-Grenzen.
 \begin{equation}
     \label{eq:potential-6}
     \begin{split}
@@ -517,3 +517,286 @@ Dieses Beispiel hat zwei Grenzen - die innere ($R_{\mathrm{inner}}$) und der äu
     \caption{Beispeil 2}
     \label{fig:potential-5}
 \end{figure}
+
+\newpage
+\chapter{scalar}
+Die bisher berechnete Simulationen bezogen sich nur auf stationäre Strömungen. In diesem Kapitel wird es eine instationäre Strömung für ersten Mal betrachtet. Die zu beobachtende Größe auf dem Gebiet heißt nun ganz abstrakt `Skalar`. Jede intensive Größe kann in echten Leben als Skalar dienen, z.b. Temperatur oder Konzentration eines Stoffes. Dabei wird es angenommen, dass die Geschwindigkeit der Strömung ist am jeder Punkt und Zeitpunkt bekannt und durch eine Funktion $\vec{v}(x, y, t)$ beschrieben.
+
+Zur Lösung der instationären Strömungen wird es die Methode der finiten Volumen verwendet. Dafür soll die Fläche nicht in Punkten, sondern in Zellen aufgeteilt werden. Eine Modifikation der Gittergenerationsalgorithmus wird benötigt. Der Algorithmus soll nicht mehr die Center der Zellen als Punkten betrachten, sondern die eigentlichen Punkten am Ränder der Zellen. Jetzt werden nicht Zellen selbst als `aktiv` oder `passiv` markiert, sondern jede einzelnen Punkte der Zellen. Das gewünschte Resultat solcher Algorithmus ist auf der Bild \ref{fig:scalar-1}  zu sehen. Die weißen Punkte bezeichnen dabei die ideale Position der Punkten, die schwarze bezeichnen die echte, durch die Untersuchung aller möglicher Überquerungen gefundene Punkte. Die Seite, die auf seinen perfekten Positionen sich befinden, werden als `regulare` Seiten bezeichnen (auch wenn die Seite nicht vollständig ist). Die Reste der Seiten sind die sogenannte `irregulare` Seiten. Der rote Punkt ist einen Massencenter der Zelle.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \captionsetup{justification=centering}
+    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image/cut_polygon.drawio.pdf}
+    \caption{Verbesserter Algorithmus}
+    \label{fig:scalar-1}
+\end{figure}
+
+Die Abbildung \ref{fig:scalar-2} zeigt, wie die drei Arten von Gittern des modifizierten Algorithmus aussehen.
+
+\begin{figure}[H]
+    \begin{subfigure}[b]{0.35\textwidth}
+        \centering
+        \captionsetup{justification=centering}
+        \includegraphics[width=1\textwidth]{image/complex_triangle.drawio.pdf}
+        \caption{Dreiechiges Gitter}
+    \end{subfigure}
+    \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
+        \centering
+        \captionsetup{justification=centering}
+        \includegraphics[width=1\textwidth]{image/complex_square.drawio.pdf}
+        \caption{Quadratisches Gitter}
+    \end{subfigure}
+    \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
+        \centering
+        \captionsetup{justification=centering}
+        \includegraphics[width=1\textwidth]{image/complex_hexagon.drawio.pdf}
+        \caption{Hexagonales Gitter}
+    \end{subfigure}
+
+    \centering
+    \captionsetup{justification=centering}
+    \caption{Drei Arten von Gitter}
+    \label{fig:scalar-2}
+\end{figure}
+
+Die Grenzen können entweder `fixiert` oder `nicht fixiert` sein. Die Zellen, die durch einer `fixierten` Grenze überquert werden, heißen auch `fixiert`. Der Skalarwert jeder `fixierter` Zelle wird als $\vec{v}(x, y, t)$ angenommen. Der Skalarwert jeder `nicht fixierter` Zelle wird mit einem normalen Vorgehen berechnet.
+
+Zuerst sollen es einige Definitionen eingeführt werden. Für eine Zelle (bezeichnet als Zelle $0$) und ihre Nachbar-Zelle (Zelle $i$):
+\begin{itemize}
+    \item Fluiddichte $\rho$, Diffusionskoeffziient $\lambda$, Faleche der Zelle $A_i$
+    \item Skalarwerte $s_0$ und $s_i$
+    \item Koordinate von Punkten $p_i = \begin{bmatrix}x_i \\ y_i\end{bmatrix}$ und $p_{i+1} = \begin{bmatrix}x_{i+1} \\ y_{i+1}\end{bmatrix}$
+    \item Center der Seite $f_i = (p_i + p_{i+1}) / 2$
+    \item Koordinate von Centern der Zellen $c_0$ und $c_i$
+    \item Seietenvektor $\vec{L} = p_{i+1} - p{i}$
+    \item Normale (nach innen) $\vec{\mathbf{n}} = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix} \vec{L} / \sqrt{\vec{L}^2}$
+    \item Korrigierte Seietenlaenge $L = \sqrt{\vec{L}^2 - (\vec{L} \cdot \vec{\mathbf{n}})^2}$
+    \item Korrigierte Länge zwischen Zellencenter $l = (c_0 - c_i) \cdot \vec{\mathbf{n}}$
+    \item Korrigierte Länge zwischen Zenter der Zelle und der Seite  $l_f = (c_0 - f_i) \cdot \vec{\mathbf{n}}$
+    \item Fluidgeschwindigkeit an der Seite: $v_i = \vec{v}(f_i, t) \cdot \vec{\mathbf{n}}$
+\end{itemize}
+
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \captionsetup{justification=centering}
+    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image/precalculated.drawio.pdf}
+    \caption{Verbesserter Algorithmus}
+    \label{fig:scalar-1}
+\end{figure}
+Der Skalaewert ist nur auf Centern der Zellen definiert und der erste Schritt in den mathematischen Kern des Algorithmus ist es, den Wert des Skalars auf der Ränder zu finden. Wir betrachten sobald drei Methoden: lineare (\ref{eq:scalar-1}), exponentielle ((\ref{eq:scalar-2})) und die Upwind-Methode ((\ref{eq:scalar-3})). Den Skalarwert auf den Centern der Zelle wird als $s_{i,f}$ bezeichnet.
+
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-1}
+    s_{i,f} = \dfrac{s_0 (l_i - l_{i,f}) + s_i l_{i,f}}{l_i}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-2}
+    \begin{split}
+        s_{i,f} = s_0 + (s_i - s_0) \dfrac{e^{Pe_i l_i / l_{i,f}} - 1}{e^{Pe_i} - 1} \\
+        Pe_i = \dfrac{\rho v_i l_i}{\lambda}
+    \end{split}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-3}
+    \begin{split}
+        s_{i,f} = s_i (v_i \geq 0) \\
+        s_{i,f} = s_0 (v_i < 0)
+    \end{split}
+\end{equation}
+
+Dann werden die konvektive und diffusive Terme des Flusses mit der Gleichung \ref{eq:scalar-4} gerechnet ($n$ steht für Iteration, $m$ steht für Anzahl der Nachbarn):
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-4}
+    \begin{split}
+        f_{\mathrm{convective}, i} = \rho v_i s_{i,f} L_i \\
+        f_{\mathrm{diffusive}, i} = \lambda (s_i - s_0) L_i / l_i \\
+        s_0^{n+1} = s_0^n + \dfrac{\Delta t}{\rho A_i} \sum_{i = 1}^{m} f_{\mathrm{convective}, i} + f_{\mathrm{diffusive}, i}
+    \end{split}
+\end{equation}
+
+\newpage
+\section{Beispliel 1}
+In ersten Beispiel fließt das Fluid von links nach rechts. An Anfang hat die Untere Hälfte $s = s_{\mathrm{min}}$, und die Obere $s = s_{\mathrm{max}}$, mit der Zeit und Stecke aber differieren die beiden Hälfte ineinander. Dabei die linke und rechte Grenzen des Gebiets sind `fixiert`. Um den Prozess zu beschreiben, es soll eine `Wellefunktion` \ref{eq:scalar-5} definiert werden.
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-5}
+    \mathrm{wave}(L, F, \rho, \lambda, x, t) = \sum_{n = 0}^{n = 1000} \dfrac{F}{2} \dfrac{4}{\pi} \frac{\sin({k \pi x / L})}{k} e^{-t \dfrac{\lambda \pi^2 k^2}{L^2 \rho}}, k = 2 n + 1
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-7}
+    \begin{split}
+        \vec{v}(x, y, t) = \begin{bmatrix}0.1 & 0\end{bmatrix}^T \\
+        s_{\mathrm{min}} = 0, s_{\mathrm{max}} = 1 \\
+        x_{\mathrm{min}} = y_{\mathrm{min}} = -0.5, x_{\mathrm{max}} = y_{\mathrm{max}} = 0.5, x_{\mathrm{begin}} = -0.55 \\
+        \Delta t = 0.01, t_{\mathrm{max}} = 1 \\
+        s_e(x, y, t) = \dfrac{s_{\mathrm{max}}}{2} + \mathrm{wave}(y_{\mathrm{max}} - y_{\mathrm{min}}, s_{\mathrm{max}}, \rho, \lambda, y - \dfrac{y_{\mathrm{min}} + y_{\mathrm{max}}}{2}, \dfrac{x - x_{\mathrm{begin}}}{v_x})
+    \end{split}
+\end{equation}
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \captionsetup{justification=centering}
+    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{image/scalar/1.png}
+    \label{fig:scalar-1}
+    \caption{Beispeil 1}
+\end{figure}
+
+\newpage
+\section{Beispliel 2}
+Jetzt wird es ein Beispiel betrachtet, wo ein Gebiet von Fluid mit $s = s_{\mathrm{min}}$ befindet sich stationär neben einem Gebiet mit $s = s_{\mathrm{max}}$
+
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-8}
+    \begin{split}
+        \vec{v}(x, y, t) = \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix} \\
+        s_{\mathrm{min}} = 0, s_{\mathrm{max}} = 1 \\
+        x_{\mathrm{min}} = y_{\mathrm{min}} = -0.5, x_{\mathrm{max}} = y_{\mathrm{max}} = 0.5 \\
+        \Delta t = 0.01, t_{\mathrm{max}} = 1 \\
+        s_e(x, y, t) = \dfrac{s_{\mathrm{max}}}{2} + \mathrm{wave}(x_{\mathrm{max}} - x_{\mathrm{min}}, s_{\mathrm{max}}, \rho, \lambda, -\dfrac{x_{\mathrm{max}} - x_{\mathrm{min}}}{2} + x, t)
+    \end{split}
+\end{equation}
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \captionsetup{justification=centering}
+    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{image/scalar/2.png}
+    \caption{Beispeil 2}
+    \label{fig:scalar-2}
+\end{figure}
+
+\newpage
+\section{Beispliel 3}
+Nun wird das Fluid auf dem ganzen Gebiet langsam links fließen
+
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-8}
+    \begin{split}
+        \vec{v}(x, y, t) = \begin{bmatrix}0.1 \\ 0\end{bmatrix} \\
+        s_{\mathrm{min}} = 0, s_{\mathrm{max}} = 1 \\
+        x_{\mathrm{min}} = -0.5, x_{\mathrm{max}} = 0.5 \\
+        y_{\mathrm{min}} = -0.5, y_{\mathrm{max}} = 0.5 \\
+        \Delta t = 0.01, t_{\mathrm{max}} = 1 \\
+        s_e(x, y, t) = \dfrac{s_{\mathrm{max}}}{2} + \mathrm{wave}(x_{\mathrm{max}} - x_{\mathrm{min}}, s_{\mathrm{max}}, \rho, \lambda, -\dfrac{x_{\mathrm{max}} - x_{\mathrm{min}}}{2} + x - v_x t, t)
+    \end{split}
+\end{equation}
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \captionsetup{justification=centering}
+    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{image/scalar/3.png}
+    \caption{Beispeil 3}
+    \label{fig:scalar-3}
+\end{figure}
+
+\newpage
+\chapter{scalar\_v2}
+In diesem Kapitel wird ein numerischer Loeser beschrieben, der sehr aenlich zum Skalarloeser ist und loest denselben Typ von Aufgaben. Wegen einige mathematische Annahme ist dieses Loeser besser optimiert unf hat den besseren Produktivitaet. Anstadt der Gleichung \ref{eq:scalar-4} wird dessen Arbeit mit der Gleichung \ref{eq:scalar-v2-1} beschirben:
+
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-v2-1}
+    \begin{split}
+        \tilde{a}_0 s_0^{n+1} = b + \sum_{i = 1}^{m} a_i s_i^n \\
+        b = a_0 s_0 \\
+        a_0 = \dfrac{\rho A_0}{\Delta t} \\
+        \tilde{a}_0 = a_0 + \sum_{i = 1}^{m} a_i \\
+        a_i = D_i L_i A(Pe_i) + \max(0, f_i L_i) \\
+        D_i = \dfrac{\lambda}{l_i} \\
+        Pe_i = \dfrac{\rho v l_i}{\lambda} \\
+        f_i = v_i \rho
+    \end{split}
+\end{equation}
+
+Die Funktion $A(Pe)$ werden dabei in Abhängigkeit von den benutzte numerische Methode gerechnet. In der Code wurde es funf Methoden implementiert: lineare (\ref{eq:scalar-v2-2}), Upwind-Methode (\ref{eq:scalar-v2-3}), hybride (\ref{eq:scalar-v2-4}), potentiale (\ref{eq:scalar-v2-5}) und exponentiale (\ref{eq:scalar-v2-6}).
+
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-v2-2}
+    A(Pe) = 1 - \dfrac{1}{2} \lvert Pe \rvert
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-v2-3}
+    A(Pe) = 1
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-v2-4}
+    A(Pe) = \max(0, 1 - \dfrac{1}{2} \lvert Pe \rvert)
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-v2-5}
+    A(Pe) = \max \Big(0, (1 - \dfrac{1}{2} \lvert Pe \rvert)^5 \Big)
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-v2-6}
+    A(Pe) = \dfrac{\lvert Pe \rvert}{e^{\lvert Pe \rvert - 1}}
+\end{equation}
+
+\newpage
+\section{Beispliel 1}
+Die Bedingungen der Beispeilen sind in diesem Kapitel genau dieselbe wie in der vorherigen.
+
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-v2-7}
+    \begin{split}
+        \vec{v}(x, y, t) = \begin{bmatrix}0.1 \\ 0\end{bmatrix} \\
+        s_{\mathrm{min}} = 0, s_{\mathrm{max}} = 1 \\
+        x_{\mathrm{min}} = y_{\mathrm{min}} = -0.5, x_{\mathrm{max}} = y_{\mathrm{max}} = 0.5, x_{\mathrm{begin}} = -0.55 \\
+        \Delta t = 0.01, t_{\mathrm{max}} = 1 \\
+        s_e(x, y, t) = \dfrac{s_{\mathrm{max}}}{2} + \mathrm{wave}(y_{\mathrm{max}} - y_{\mathrm{min}}, s_{\mathrm{max}}, \rho, \lambda, y - \dfrac{y_{\mathrm{min}} + y_{\mathrm{max}}}{2}, \dfrac{x - x_{\mathrm{begin}}}{v_x})
+    \end{split}
+\end{equation}
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \captionsetup{justification=centering}
+    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{image/scalar_v2/1.png}
+    \label{fig:scalar-v2-1}
+    \caption{Beispeil 1}
+\end{figure}
+
+\newpage
+\section{Beispliel 2}
+
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-v2-8}
+    \begin{split}
+        \vec{v}(x, y, t) = \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix} \\
+        s_{\mathrm{min}} = 0, s_{\mathrm{max}} = 1 \\
+        x_{\mathrm{min}} = y_{\mathrm{min}} = -0.5, x_{\mathrm{max}} = y_{\mathrm{max}} = 0.5 \\
+        \Delta t = 0.01, t_{\mathrm{max}} = 1 \\
+        s_e(x, y, t) = \dfrac{s_{\mathrm{max}}}{2} + \mathrm{wave}(x_{\mathrm{max}} - x_{\mathrm{min}}, s_{\mathrm{max}}, \rho, \lambda, -\dfrac{x_{\mathrm{max}} - x_{\mathrm{min}}}{2} + x, t)
+    \end{split}
+\end{equation}
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \captionsetup{justification=centering}
+    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{image/scalar_v2/2.png}
+    \caption{Beispeil 2}
+    \label{fig:scalar-v2-2}
+\end{figure}
+
+\newpage
+\section{Beispliel 3}
+
+\begin{equation}
+    \label{eq:scalar-v2-8}
+    \begin{split}
+        \vec{v}(x, y, t) = \begin{bmatrix}0.1 \\ 0\end{bmatrix} \\
+        s_{\mathrm{min}} = 0, s_{\mathrm{max}} = 1 \\
+        x_{\mathrm{min}} = -0.5, x_{\mathrm{max}} = 0.5 \\
+        y_{\mathrm{min}} = -0.5, y_{\mathrm{max}} = 0.5 \\
+        \Delta t = 0.01, t_{\mathrm{max}} = 1 \\
+        s_e(x, y, t) = \dfrac{s_{\mathrm{max}}}{2} + \mathrm{wave}(x_{\mathrm{max}} - x_{\mathrm{min}}, s_{\mathrm{max}}, \rho, \lambda, -\dfrac{x_{\mathrm{max}} - x_{\mathrm{min}}}{2} + x - v_x t, t)
+    \end{split}
+\end{equation}
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \captionsetup{justification=centering}
+    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{image/scalar_v2/3.png}
+    \caption{Beispeil 3}
+    \label{fig:scalar-v2-3}
+\end{figure}

report/tex/macros.tex

 
-\newcommand*\submitdate{Oktober 4, 2022}
+\newcommand*\submitdate{April 1, 2022}
 
 
 %% ABBREVIATIONS & MACROS