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Added video for RLC system

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%% Cell type:code id: tags:
``` python
# Copyright 2020 Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University
%matplotlib widget
from ipywidgets import interact, interactive
import ipywidgets as widgets
from IPython.display import clear_output, display, HTML
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import cmath # for sqrt(-1)
import rwth_nb.plots.mpl_decorations as rwth_plots
from rwth_nb.misc.signals import *
plt.close('all')
```
%% Cell type:markdown id: tags:
<div class="inline-block">
<img src="figures/rwth_ient_logo@2x.png" style="float: right;height: 5em;">
</div>
# RLC-System
Zum Starten: Im Menü: Run <span class="fa-chevron-right fa"></span> Run All Cells auswählen.
%% Cell type:markdown id: tags:
## Einleitung
Es wird folgendes RLC-System betrachtet:
![Blockdiagramm](figures/rlc_system_block_diagram.png)
%% Cell type:code id: tags:
``` python
# Exemplary values
R = 16 # Ohm
R = 16 # Ohm, Ω
L = 1.5E-3 # Henry, mH
C = 1E-6 # Farad, myF
```
%% Cell type:markdown id: tags:
## Berechnung Laplace-Übertragungsfunktion
Die Übertragungsfunktion des Systems kann im Laplace-Bereich mittels Spannungsteiler berechnet werden:
$$
H(p)
=
\frac{U_2(p)}{U_1(p)}
=
\frac{1/(Cp)}{R+Lp+1/(Cp)}
=
\frac{1}{LCp^2+RCp+1}
=
\frac{1/(LC)}{p^2+(R/L)p + 1/(LC)}
$$
mit $p = \sigma + \mathrm{j}\omega = \sigma + \mathrm{j}2 \pi f$.
%% Cell type:code id: tags:
``` python
# Laplace transfer function
H_laplace = lambda p: 1/(L*C*p**2+R*C*p+1);
```
%% Cell type:markdown id: tags:
### Polstellen
Die zugehörigen Polstellen berechnen sich zu
$$p_{\mathrm{P},1,2} =
- \underbrace{\frac{R}{2L}}_{=a} \pm \underbrace{\sqrt{\frac{R^2}{4L^2} - \frac{1}{LC}}}_{=b}
$$
mit $a=\frac{R}{2L}$ und $b=\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}$.
%% Cell type:code id: tags:
``` python
# Poles
a = R/(2*L)
b = cmath.sqrt(R**2/(4*L**2)-1/(L*C))
p_p1 = -a+b
p_p2 = -a-b
# Print out the numbers
print("a={0:.3f}".format(a))
print("b={0:.3f}".format(b))
if R**2/(4*L**2) >= 1/(L*C): print("b reell")
else: print("b imaginär")
print("\nPolstellen:")
print("p_p1={0:.3f}, p_p2={0:.3f}".format(p_p1, p_p2))
```
%% Cell type:markdown id: tags:
### Pol-Nulstellendiagramm
Nachfolgend wird das Pol-Nulstellendiagramm geplottet. Es enthält die beiden konjugiert komplexen Polstellen, den Konvergenzbereich und das zugehörige $H_0$.
Da der Konvergenzbereich die imaginäre Achse beinhaltet, ist das System stabil.
%% Cell type:code id: tags:
``` python
beta = np.imag(b) # Imaginary part of the poles
pp = np.array([p_p1, p_p2]); pz = np.array([]) # Zeros # Poles and Zeros
ord_p = np.array([1, 1]); ord_z = np.array([]) # Poles' and Zeros' orders
roc = np.array([np.max(np.real(pp)), np.inf]) # region of convergence
# Plot
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(np.real(pp), np.imag(pp), **rwth_plots.style_poles); ax.plot(np.real(pp), -np.imag(pp), **rwth_plots.style_poles); rwth_plots.annotate_order(ax, pp, ord_p);
ax.plot(np.real(pz), np.imag(pz), **rwth_plots.style_zeros); ax.plot(np.real(pz), -np.imag(pz), **rwth_plots.style_zeros); rwth_plots.annotate_order(ax, pz, ord_z);
rwth_plots.plot_lroc(ax, roc, 500, np.imag(p_p1)); ax.text(-1000,ax.get_ylim()[1]*0.8,'$H_0 = 1/(LC)$',bbox = rwth_plots.wbbox);
ax.set_xlim(ax.get_xlim()[0], 300); rwth_plots.annotate_xtick(ax, r'$-a$', -a,0,'k');
ax.set_xlabel(r'$\rightarrow \mathrm{Re}\{p\}$'); ax.set_ylabel(r'$\uparrow \mathrm{Im}\{p\}$'); rwth_plots.grid(ax); rwth_plots.axis(ax);
```
%% Cell type:markdown id: tags:
## Fourier-Übertragungsfunktion
Aus der Laplaceübertragungsfunktion kann die Fourierübertragungsfunktion berechnet werden, indem $p = \mathrm{j}2\pi f$ gesetzt wird:
$$H(p = \mathrm{j}2\pi f) \quad\text{mit}\quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$
%% Cell type:code id: tags:
``` python
# Fourier transfer function
H_fourier = lambda f: H_laplace(1j*2*np.pi*f)
f = np.linspace(0, 10000, 10000) # frequency axis
# Resonance frequency
omega0 = 1/np.sqrt(L*C)
f0 = omega0/(2*np.pi)
# Print f0
print("f0 = {0:.2f} Hz".format (f0))
# Plot
fig,ax = plt.subplots()
ax.plot(f/1000, np.abs(H_fourier(f))); rwth_plots.axis(ax)
ax.set_xlabel(r'$\rightarrow f$ [kHz]'); ax.set_ylabel(r'$\uparrow |H(f)|$');
rwth_plots.annotate_xtick(ax, r'$f_0 = \omega_0/(2\pi)$', omega0/(2*np.pi)/1000,-0.25,'rwth:black');
ax.axvline(f0/1000,0,1, color='k',linestyle='--');
```
%% Cell type:markdown id: tags:
## Impulsantwort
Die Impulsantwort kann mittels Partialbruchzerlegung (siehe Vorlesung) bestimmt werden zu
$$
h(t) = \frac{\mathrm{e}^{-at}}{bLC}
\frac{\mathrm{e}^{bt}-\mathrm{e}^{-bt}}{2}
\cdot \varepsilon(t)
$$
mit $a=\frac{R}{2L}$ und $b=\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}$.
Der nachfolgende Plot zeigt diese Impulsantwort.
%% Cell type:code id: tags:
``` python
# Impulse response (time-domain)
h = lambda t: np.real(np.exp(-a*t)/(b*L*C)*(np.exp(b*t)-np.exp(-b*t))/2*unitstep(t))
t = np.linspace(-0.001, 0.01, 10000) # time axis
# Plot
fig,ax = plt.subplots()
ax.plot(t*1000, h(t), 'rwth:blue'); rwth_plots.axis(ax); ax.set_xlim([-0.1, 5])
ax.set_xlabel(r'$\rightarrow t$ [ms]'); ax.set_ylabel(r'$\uparrow h(t)$');
#np.mean(np.abs(h(t) - 1/(beta*L*C)*np.exp(-a*t)*np.sin(beta*t)*unitstep(t))**2)
```
%% Cell type:markdown id: tags:
## Interaktive Demo
In dieser interaktiven Demo kann das Verhalten des Systems für variable Werte von $R$ betrachtet werden. Über den Schieberegler kann der Wert für $R$ geändert werden, entsprechend sieht man die Änderungen für die Fourier-Übertragungsfunktion und die Impulsantwort.
%% Cell type:code id: tags:
``` python
fig0,axs = plt.subplots(2, 1, **rwth_plots.landscape)
@widgets.interact(Rsel=widgets.FloatSlider(min=0, max=200, step=1, value=R, description='$R$ [$\Omega$]'))
def update_plot(Rsel):
H_laplace = lambda p: 1/(L*C*p**2+Rsel*C*p+1);
H_fourier = lambda f: H_laplace(1j*2*np.pi*f);
a = Rsel/(2*L)
b = cmath.sqrt(Rsel**2/(4*L**2)-1/(L*C))
h = lambda t: np.real(np.exp(-a*t)/(b*L*C)*(np.exp(b*t)-np.exp(-b*t))/2*unitstep(t))
if not axs[0].lines: # Call plot() and decorate axes. Usually, these functions take some processing time
ax = axs[0]; ax.plot(f/1000, np.abs(H_fourier(f)), 'rwth:blue'); rwth_plots.axis(ax)
ax.set_xlabel(r'$\rightarrow f$ [kHz]'); ax.set_ylabel(r'$\uparrow |H(f)|$');
ax.axvline(f0/1000,0,1, color='rwth:black',linestyle='--');
ax = axs[1]; ax.plot(t*1000, h(t), 'rwth:blue'); rwth_plots.axis(ax); ax.set_xlim([-.225, 5])
ax.set_xlabel(r'$\rightarrow t$ [ms]'); ax.set_ylabel(r'$\uparrow h(t)$');
else: # If lines exist, replace only xdata and ydata since plt.plot() takes longer time
axs[0].lines[0].set_ydata(np.abs(H_fourier(f)))
axs[1].lines[0].set_ydata(h(t))
tmp = np.max(np.abs(H_fourier(f))); rwth_plots.update_ylim(axs[0], np.abs(H_fourier(f)), 0.1*tmp, tmp+10 )
tmp = np.max(np.abs(h(t))); rwth_plots.update_ylim(axs[1], (h(t)), 0.1*tmp, tmp+10 )
display(HTML('{}<br />{}'.format('a={0:.3f}'.format(a), 'b={0:.3f}'.format(b))))
```
%% Cell type:markdown id: tags:
### Experiment
Mit $R=0 \,\Omega$, $L=47\,\mathrm{mH}$ und $C=0,68\,\mu\mathrm{F}$ liegt die entsprechende Grenzfrequenz bei $f_0 \approx 900\,Hz$. Rauchentwicklung ab Sekunde 20 ;)
%% Cell type:code id: tags:
``` python
from IPython.display import Video
Video("figures/RLC_Experiment.mp4", width=480, height=270 )
```
%% Cell type:markdown id: tags:
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Please attribute the work as follows:
*Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2020, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
*Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2021, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
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