@@ -48,7 +49,8 @@ Die folgende Definition aus der Vorlesung beschreibt, wie sich aus einem Pushdow
\end{definition*}
Das Verfahren ist eigentlich sehr einfach, allerdings ist die Funktionsweise nicht sehr intuitiv, da sich die Produktionsregeln der erzeugten Grammatik nicht so leicht interpretieren lassen (oder: sie lassen sich nicht so einfach von links nach rechts lesen).
Wir betrachten also einen PDA, der mit leerem Stack akzeptiert $\mathcal{A}=(Q, \Sigma, \Gamma, \Delta, q_0, Z_0)$ und konstruieren daraus die Grammatik $\mathcal{G_A}=(N, \Sigma, P, S)$ wie in der Definition beschrieben. Die entscheidene Kernidee des Algorithmus ist folgende: Das Nichtterminalsymbol $[pZq]$ repräsentiert einen Lauf von $p$ nach $q$ bei dem das Stacksymbol $Z$ aus dem Stack entfernt wird (d.h. wir kommen dem leeren Stack ''einen Schritt näher``).\\
Ein Ableitungsschritt in der Grammatik entspricht dabei nicht einfach einer Transition im PDA (außer im Fall von $[pZq]\to\sigma$, was der Transition $(p, \sigma, Z, \varepsilon, q)$ entspricht), sondern auch der \textit{Hoffnung} den Stack, der sich in der Transition $(p, \sigma, Z, Z_1\ldots Z_k, p_0)$ aufbaut (für $k > 0$) in einer der Zukunft wieder abzubauen. Die Nichtterminale $[pZq]$\textit{hoffen} also, dass der PDA von $p$ mit Stackinhalt $Z\gamma$ nach $q$ kommt und dabei nur $\gamma$ auf dem Stack stehen lässt, wobei $\gamma\in\Gamma^\ast$. Wir gehen nun einmal auf die drei Arten der Produktionsregeln ein, hierfür sei $\sigma\in\Sigma\cup\{\varepsilon\}$:
Ein Ableitungsschritt in der Grammatik entspricht dabei nicht einfach einer Transition im PDA (außer im Fall von $[pZq]\to\sigma$, was der Transition $(p, \sigma, Z, \varepsilon, q)$ entspricht), sondern auch der \textit{Hoffnung} den Stack, der sich in der Transition $(p, \sigma, Z, Z_1\ldots Z_m, p_0)$ aufbaut (für $m > 0$) wieder abzubauen. Die Nichtterminale $[pZq]$\textit{hoffen} also, dass der PDA von $p$ mit Stackinhalt $Z\gamma$ nach $q$ kommt und dabei nur $\gamma$ auf dem Stack stehen lässt, wobei $\gamma\in\Gamma^\ast$.
Wir gehen nun einmal auf die drei Arten der Produktionsregeln ein, hierfür sei $\sigma\in\Sigma\cup\{\varepsilon\}$:
\begin{itemize}
\item Mit dem Startsymbol $S$ haben wir folgende Produktionsregeln: $S \to[q_0 Z_0 q]$\textbf{für alle}$q \in Q$.\\
Die Akzeptanzbedingung des Automatenmodells ist allein vom Stack abhängig, in welchem Zustand ein Lauf terminiert ist also egal, deswegen bilden wir diese Regel für jedes $q$. Hier rufen wir uns nochmal die Intuition der Nichtterminale (außer $S$) in Erinnerung: Gesucht wird also ein Lauf auf $\mathcal{A}$ vom Startzustand $q_0$ zu einem beliebigen $q$, sodass das Bottom-of-Stack-Symbol $Z_0$ weggenommen wird (d.h. nur noch $\varepsilon$ auf dem Stack steht). Diese Regeln sind drücken also genau unseren gewünschten Lauf aus: Von der Startkonfiguration $(q_0, Z_0)$ zu einer Konfiguration $(q, \varepsilon)$.
...
...
@@ -56,8 +58,65 @@ Ein Ableitungsschritt in der Grammatik entspricht dabei nicht einfach einer Tran
\item Regeln der Form $[pZp_m]\to\sigma[p_0 Z_1 p_1][p1 Z_2 p_2]\ldots[p_{m-1} Z_m p_m]$ für eine Transition $(p, \sigma, Z, Z_1\ldots Z_m, p_0)\in\Delta$ und alle möglichen(!) Zustände $p_1, \ldots, p_m \in Q$:\\
Dies ist die schwerste Art der konstruierten Produktionsregeln. Wir versuchen dies trotzdem einmal in einem Satz von links nach rechts zu beschreiben, auch wenn das etwas konstruiert wirkt:
Wir befinden uns in Zustand $p$ mit $Z$ oben auf dem Stack, welches wir entfernen wollen, und dabei den Zustand $p_m$ erreichen mit einer Transition über $\sigma$, wo wir den Stack mit $Z_1, \ldots, Z_m$ auffüllen, welche wir dann in der Zukunft, d.h. in einem Lauf über $p_0$ bis $p_m$, abbauen müssen über weitere Regeln dieser Form und -- schlussendlich -- über Regeln der Art aus dem vorigen Punkt.\\
Eine Ableitung eines Wortes repräsentiert also genau einen akzeptierenden (d.h. mit $\varepsilon$ auf dem Stack am Ende) Lauf auf dem PDA.
Eine Ableitung eines Wortes repräsentiert also genau einen akzeptierenden (d.h. mit $\varepsilon$ auf dem Stack am Ende) Lauf auf dem PDA. In Abbildung~\ref{fig:stacks} ist die Idee nochmal an einer Transition veranschaulicht.
\caption{Ein Teillauf im PDA, welche durch das Nichtterminal $[pZq]$ simuliert wird. Zunächst benutzen wir die Transition $(p, \sigma, Z, Z_1\ldots Z_m, p_0)$ um $Z$ zu entfernen, dadurch entstehen jedoch die Symbole $Z_1, \ldots, Z_m$ neu auf dem Stack, die im weiteren Verlauf abgebaut werden müssen. Dabei werden ist es für $[pZq]$\textit{egal} mit welchen Zuständen $p_1, \ldots, p_{m-1}$ dies erreicht wird. Daher gibt es für jede $m$-Auswahl aus $Q$ eine Produktion. Beachte außerdem, dass die Schritte zwischen $p_i$ zu $p_{i+1}$ (für $0\leq i < m$) \textit{Makro-Schritte} ($\to^\ast$ -- mehrere Transitionen) sind, d.h. nicht wie von $p$ nach $p_0$ eine einzelne Transition (nur durch Transition $(p_i, \sigma, Z_{i+1}, \varepsilon, p_{i+1})$), sondern durch weitere Zwischenschritte mit zwischenzeitlichem Aufbau des Stacks.}
\label{fig:stacks}
\end{figure}
Um die Philosophie der Konstruktion einmal zusammenzufassen: Wenn in einem akzeptierenden Lauf der aktuelle Stackinhalt zu einem Zeitpunkt $Z\gamma$ ist, dann wird zu einem späteren Punkt des Laufes der Stackinhalt einmal nur noch $\gamma$ sein.\\
Wir betrachten als Beispiel den PDA, der mit leerem Stack akzeptiert in Abbildung~\ref{fig:pda}. Sei dafür
