2.1.1.) Formulieren Sie Diskretisierungen für die inkompressible, zweidimensionale und instationäre Konvektions-Diffusionsgleichung
Konvektiver Anteil
-
konvektiver Fluss mit wahlweise: -
zentrale Formulierung -
einfache Upwind-Formulierung
-
Diffusiver Anteil
-
diffusiver Fluss: zentrale Approximation -
Geschwindigkeitsfeld entspricht Kontinuitätsgleichung -
compute face centers and deltas -
compute cell centers and volumes
Diskretisierung
inkompressible, zweidimensional und instationäre Konvektions-Diffusionsgleichung:
- Diffusionsanteil:
\frac{\delta}{\delta t} \left( \rho \Phi_p \right) \Delta V_p = \rho \Delta V_p \frac{\Phi_{p,t} - \Phi_{p,t-1}}{\Delta t}
- Konvektionsanteil:
\sum_{\text{faces}} \left( f \Delta y - g \Delta x \right)
- Quellterm:
s_p \Delta V_p = 0
In kartesischen Koordinaten gilt zudem: f = |\vec{F}|, \ \Delta x = 0 \ \& \ g = 0
oder g = |\vec{F}|, \ \Delta y = 0 \ \& \ f = 0
Somit gilt der Term:
\rho \Delta V_p \frac{\Phi_{p,t} - \Phi_{p,t-1}}{\Delta t} + \sum_{\text{faces}} |\vec{F}| \left( \Delta y - \Delta x \right) = 0
\Phi_{p,t}= \Phi_{p,t-1} - \frac{\Delta t}{\rho \Delta V_p} \sum_{\text{faces}} |\vec{F}| \left( \Delta y - \Delta x \right)