besteht aus Dirac-Impulsen, positioniert an den Zeitpunkten $nT$ und gewichtet mit dem Funktionswerten $s(nT)$. Die zugehörige Fourier-Transformierte $S_{\mathrm{a}}(f)$ wird aus periodischen Wiederholungen des Signalspektrums $S(f)$ zusammengesetzt:
Zur Rückgewinnung wird ein Rekonstruktionsfilter $h_\mathrm{TP}(t)$ eingesetzt, welches im Idealfall die die spektrale Kopie bei $k=0$ (auch Basisband genannt) aus $S_\mathrm{a}(f)$ rekonstruieren soll.
Hier wird das ideale Tiefpassfilter $H_\mathrm{TP}(f)=\mathrm{rect}(f)$ verwendet.
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Zur Auswahl stehen vier Signale $s(t)$:
* $s(t) = \cos(2 \pi t)$,
* $s(t) = \mathrm{si}(2 \pi t)$,
* $s(t) = \mathrm{rect} (t)$ und
* $s(t) = \Lambda(t)$.
Achtung: Die letzten beiden Signale $s(t)$, Rechteck- und Dreieckimpuls, haben unendlich ausgedehnte Spektren $S(f)$. Daher ist eine fehlerfreie Rekonstruktion prinzipiell nicht möglich!
Zunächst werden $s(t)$ und $s_\mathrm{a}(t)$ im Zeitbereich betrachtet. Weiterhin wird das zu $s_\mathrm{a}(t)$ gehörige Spektrum $S_\mathrm{a}(f)$ dargestellt. In der gleichen Abbildung ist die Übertragungsfunktion $H_\mathrm{TP}(f)$ des Rekonstruktionsfilters gezeigt. In der letzten Abbildung wird nun das rekonstruierte Signal $g(t)$ gezeigt. Im Alias-freien Fall gilt $g(t)=s(t)$.
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*Emin Kosar, Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2019, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
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*Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2019, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
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*Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2019, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
Ein Signal ist i. Allg. die Darstellung des Amplitudenverlaufs einer physikalischen Größe, wie z. B. einer elektrische Spannung, Feldstärke oder auch eines Schalldrucks, Helligkeitsverlaufs, Lichtpegels usw. Häufig werden als Signale Zeitfunktionen solcher Größen benutzt, aber auch andere Abhängigkeiten,wie z. B. Ortsabhängigkeiten bei Bildsignalen, sind möglich. Speziell in der Nachrichtentechnik hat das Signal als Träger einer dem Empfänger unbekannten Information zumeist Zufallscharakter. Aufbauelemente (Elementarkomponenten) solcher Zufallssignale sind aber häufig die determinierten Signale, deren Verlauf zumindest im Prinzip durch einen geschlossenen Ausdruck vollständig beschrieben werden kann.
Ein Elementarsignal ist ein Signal mit einer besonders einfachen Form. Sie können technisch oft recht einfach erzeugt werden und werden vielfach auch zur Ermittlung der Eigenschaften von Systemen verwendet.
Im Folgenden werden einige Elementarsignale aufgeführt.
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## Signale
### Gauß-Signal
Ein Beispiel für ein Elementarsignal, das durch einen algebraischen Ausdruck ausgedrückt wird, ist das Gaußsignal $\displaystyle s(t) = \mathrm{e}^{\pi t^2}$.
Ein Beispiel für eine Sprungfunktion ist der Spannungsverlauf an einem Ohm’schen Widerstand, der zur Zeit $t= 0$ an eine Gleichspannungsquelle geschaltet wird.
Die Si-Funktion ist definiert als $\displaystyle \mathrm{si}(t) = \frac{\sin(t)}{t}$
Die si-Funktion ist auch als Spaltfunktion bekannt, da in optischen Systemen und Antennensystemen ein Spalt als räumliche rect-Funktion beschrieben werden kann (Bracewell, 1986). Sie hat außerdem die besondere Eigenschaft, sich bei Faltung mit sich selbst zu reproduzieren: $\mathrm{si*\pi}(t)=\mathrm{si*\pi}(t)*\mathrm{si*\pi}(t)$.
Jedes Signal $s(t)$ kann verschoben, gedehnt/gestaucht und/oder gespiegelt werden. Im Folgenden werden die Effekte dieser Operationen auf das Signal verdeutlicht. Als grundlegende Form wird
$\displaystyle s\left(\pm\frac{t-t_0}{T}\right)$
gewählt. Hierbei steht $t_0$ für die Verschiebung des Signals, $T$ für die Dehnung/Stauchung und $\pm$ beschreibt die Spiegelung.
### Zeitverschiebung
Als Beispiel wird ein verschobener Rechteckimpuls $s(t) = \mathrm{rect}\left(t-\frac{1}{2}\right)$ betrachtet. Die Funktion $\mathrm{rect}(t)$ hat die Breite 1 und ist um $0$ zentriert, der um $t_0=\frac{1}{2}$ verschobene Rechteckimpuls ist in Abbildung 6 dargestellt.
#### Aufgabe
Verändere den Wert $t_0$. Wie ändert sich die geplottete Funktion? Was passiert für negative Werte von $t_0$?
Als nächstes wird die Dehnung eines Rechteckimpulses betrachet. Dies geschieht über den Faktor $T$. Die folgende Abbildung zeigt den mit $T=2$ gedehnten Rechteckimpuls $s(t) = \mathrm{rect}\left(\frac{t}{2}\right)$. Der normale Rechteckimpuls hat die Breite 1, der hier dargestellte erhält entsprechend die Breite $T*1=2$.
#### Aufgabe
Ändere den Wert für $T$. Was passiert mit der dargestellten Funktion? Was passiert für Werte von $|T| < 1$?
Ersetze den Rechteckimpuls durch einen Dreiecksimpuls $\Lambda(t) = \begin{cases}
1-|t|\quad\text{für}\ |t|\leq 1\\
0\quad\text{für}\ |t| > 1\text{ .}
\end{cases}$.
Ersetze hierfür rect durch tri. Wie breit wird die dargestellte Funktion für $T=2$?
Zur Verdeutlichung der Zeitspiegelung wird das in der folgenden Abbildung dargestellte Signal $s(t) = t \cdot \mathrm{rect}\left(t-\frac{1}{2}\right)$ betrachtet.
### Demo: Zeitverschiebung, -dehnung und -spiegelung
Die Demo fasst nun alle diese Funktionen interaktiv zusammen. Das allgemeine Signal ist weiterhin
$\displaystyle s\left(\pm\frac{t-t_0}{T}\right)$.
Mit den Schiebereglern können unterschiedliche Werte für den Dehnungsfaktor $T$ und die Zeitverschiebung $t_0$ ausgewählt werden. Die Spiegelung kann über den entsprechenden Button ein- und ausgeschaltet werden.
* Verändere den Wert für $t_0$. In welche Richtung bewegt sich das Signal?
* Verändere nun den Dehnungsfaktor $T$. Was passiert für $T<0$?WaspassiertfürWerte$T>0$?
* Setze die Werte zurück auf $T=1$ und $t_0=0$. Dies kann entweder über den Schieberegler oder durch erneutes Ausführen der Cell erfolgen.
* Aktiviere und deaktivere die Spiegelung und beobachte, was passiert.
* Verschiebe nun das Signal mit $t_0=1$. Aktiviere und deaktiviere die Spiegelung. Wie lässt sich dieses Verhalten erklären?
* Ändere nun $T$. Wie ändert sich das Signal? Aktiviere nun die Spiegelung. Was passiert nun bei einer Änderung von $T$?
* Teste abschließend verschiedene Kombinationen von $T$, $t_0$ und der Spiegelung und beobachte, welche Unterschiede die Reihenfolge der Ausführung der Operationen auf das Signal hat.
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*Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2019, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
Wähle $s(t)$ und $h(t)$ sowie jeweils Verschiebung $t_0$ und Dehnungsfaktor $T$ für beide Signale: $s\left(\frac{t-t_0}{T}\right)$ und $h\left(\frac{t-t_0}{T}\right)$.
Zusätzlich zu Elementarsignalen kann auch eine frei definierbare Funktion $s_0(t)$ zur Faltung verwendet werden.
