# Verteilungsfunktion und Verteilungsdichtefunktion
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## Einleitung
Bei der Betrachtung einer Schar von Zufallssignalen ${}^k s(t)$ ist eine Beschreibung über die tatsächlichen Amplitudenwerte oft wenig sinnvoll. Statt dieser werden deswegen die statistischen Eigenschaften betrachtet. Grundlegende Aussagen über ein Signal können aus der Verteilungs- und der Verteilungsdichtefunktion gewonnen werden. Ebenso relevant sind der Mittelwert $m_s$, die Standardabweichung $\sigma_s$ und die Frequenz $F$.
### Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion $P_s(x,t_1)$ gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass das Signal zum Zeitpunkt $t_1$ einen Wert kleiner oder gleich $x$ annimmt:
Für einen stationären Prozess gilt, dass alle möglichen Mittelwerte unabhängig von der Verschiebung des Beobachtungszeitpunktes sind. Ein Prozess, der zwar im strengen Sinn der Definition nicht-stationär ist, dessen Autokorrelationsfunktion aber nur von der Differenz der Abtastzeiten abhängt und dessen Mittelwert zeitunabhängig ist, wird auch *stationär im weiten Sinn* oder *schwach stationär* genannt.
Erfüllt ein Signal zusätzlich die Eigenschaft, dass die Scharmittelwerte den Zeitmittelwerten entsprechen, ist das Signal *ergodisch*.
Es gilt dann:
$$P_s(x) = \frac{1}{2T}\sum_i \Delta t_i(x)$$
### Verteilungsdichtefunktion
Die Verteilungsdichtefunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmter Wert $x$ auftritt. Sie kann aus der Verteilungsfunktion durch Ableitung gewonnen werden:
Die Standardabweichung $\sigma_s$ kann nun aus Mittelwert und Leistung berechnet werden:
$$\sigma_s=\sqrt{L_s-m_s^2}$$
In der Formelsammlung können die Zusammenhänge zwischen Verteilungsdichtefunktion, Mittelwert, Leistung und Standardabweichung für Gauß- und gleichverteilte stationäre Prozesse gefunden werden.
%% Cell type:markdown id: tags:
## Signale
Im Folgenden werden einige Signale beispielhaft betrachtet. Hierzu wird im folgenden Fenster eine $t$-Achse generiert und weitere [Elementarsignalen](GDET3%20Elementarsignale.ipynb) sowie einige Verteilungsdichtefunktionen definiert.
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``` python
fs=44100;
(t,deltat)=np.linspace(-10,10,20*fs,retstep=True)# t axis in seconds
Amax=6# limit of histogram (the total range would be from -Amax to Amax)
(x,deltax)=np.linspace(-Amax,Amax,4001,retstep=True)# x axis (corresponds to amplitude)
Zunächst wird eine gleichverteilte Dreiecksfolge betrachtet. In der folgenden Abbildung kann sowohl das Dreieckssignal $s(t)$ als auch die zugehörige Verteilungsdichte $p_s(x)$ betrachtet werden. Ebenso kann das entstehende Signal als Audiofile angehört werden.
Als nächstes wird gleichverteiltes weißes Rauschen betrachtet, welches dieselbe Verteilungsdichtefunktion hat. Hört man sich dieses Signal ebenfalls an, ist zu bemerken, dass die Signale trotz gleicher Verteilungsdichtefunktion sehr unterschiedlich sind.
%% Cell type:code id: tags:
``` python
s=np.random.uniform(0,1,len(t));# sample uniform distribution between smin = 0 and smax = 1
Die folgende interaktive Demo soll veranschaulichen, wie sich Musterfunktionen eines Zufallsprozesses verhalten.
Es können verschiedene Signaltypen (Gauß-verteilt, gleichverteilt, sinusförmig oder dreieckförmig) ausgewählt werden. In der Grafik werden dann jeweils die zugehörigen Verteilungsfunktionen $P_s(x)$ und die Verteilungsdichtefunktion $p_s(x)$ angezeigt.
Das Verhalten der einzelnen Signale kann dann zusätzlich über die Schieberegler beeinflusst werden. Es ist möglich, den Mittelwert $m_s$, die Standardabweichung $\sigma_s$ und die Frequenz $F$ zu verändern.
Durch Klicken kann das Histogram der aktuellen Musterfunktion zusätzlich zur Verteilungsdichtefunktion angezeigt werden.
* Ändere den Mittelwert $m_s$. Was passiert mit dem Signal? Wie verhält sich die Verteilungsfunktion, wie die Verteilungsdichtefunktion?
* Verändere nun die Standardabweichung. Welche Auswirkungen kannst du in den Plots beobachten?
* Nun verändere die Frequenz. Was passiert?
Ändere nun den Signaltyp auf gleichverteilt.
* Was kann beobachtet werden, wenn $m_s$ und $\sigma_s$ geändert werden?
* Aktiviere nun das Histogramm, welches die Werte der aktuellen Musterfunktion zusätzlich mitplottet. Verändere die Standardabweichung. Wie verhält sich das Histogramm gegenüber der idealen Verteilungs- und Verteilungsdichtefunktion? Woher kommen die Unterschiede?
Wähle nun ein sinusförmiges Signal.
* Variiere die Frequenz. Welche Auswirkungen hat dies auf die Verteilungs- und Verteilungsdichtefunktion?
* Aktiviere wieder das Histogramm. Was passiert bei Veränderung der Standardabweichung?
Abschließend wird ein dreieckförmiges Signal betrachtet.
* Was fällt dir an der Verteilungsdichtefunktion auf?
* Verändere die Standardabweichung und betrachte, wie sich das Histogramm verhält. Was ist hier anders als beim gleichverteilten Signal? Warum?
Für beliebige Signale:
* Wie lassen sich die Verteilungs- und die Verteilungsdichtefunktion aus dem Signal bestimmen?
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Please attribute the work as follows:
*Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2019, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
