"Im Folgenden wird ein ideales Abtastsystem mit fester Abtastrate $r=2$ angenommen. Das ideale Rekonstruktionsfilter wird mit $f_\\mathrm{g} = \\frac{r}{2} = 1$ verwendet.\n",
"\n",
"Zur Auswahl stehen die folgenden Signale $s(t)$, deren Frequenz $F$ variabel ist.\n",
"* $s(t) = \\cos(2 \\pi F t)$ mit $S(f) = \\frac{1}{2}\\delta(f-F)+\\frac{1}{2}\\delta(f+F)$, \n",
"* $s(t) = \\sin(2 \\pi F t)$ mit $S(f) = \\frac{1}{2\\mathrm{j}}\\delta(f-F)-\\frac{1}{2\\mathrm{j}}\\delta(f+F)$, \n",
"* $s(t) = \\mathrm{si}(2 \\pi F t)$ mit $S(f) = \\frac{1}{2 |F|}\\mathrm{rect}\\left(\\frac{f}{2F}\\right)$,\n",
"* $s(t) = \\Lambda(F t)$ mit $S(f) = \\frac{1}{|F|}\\mathrm{si}^2\\left(\\frac{\\pi f}{F}\\right)$.\n",
"\n",
"Achtung: Die letzten beiden Signale $s(t)$, Rechteck- und Dreieckimpuls, haben unendlich ausgedehnte Spektren $S(f)$. Daher ist eine fehlerfreie Rekonstruktion prinzipiell nicht möglich!\n",
"\n",
"Zunächst werden $s(t)$ und $s_\\mathrm{a}(t)$ im Zeitbereich betrachtet. Weiterhin wird das zu $s_\\mathrm{a}(t)$ gehörige Spektrum $S_\\mathrm{a}(f)$ dargestellt. In der gleichen Abbildung ist die Übertragungsfunktion $H_\\mathrm{TP}(f)$ des Rekonstruktionsfilters gezeigt. In der letzten Abbildung wird nun das rekonstruierte Signal $g(t)$ gezeigt. Im Alias-freien Fall für cos-Funktion und si-Funktion gilt $g(t)=s(t)$."
"Zunächst werden $s(t)$ und $s_\\mathrm{a}(t)$ im Zeitbereich betrachtet. Weiterhin wird das zu $s_\\mathrm{a}(t)$ gehörige Spektrum $S_\\mathrm{a}(f)$ dargestellt. In der gleichen Abbildung ist die Übertragungsfunktion $H_\\mathrm{TP}(f)$ des Rekonstruktionsfilters gezeigt. In der letzten Abbildung wird nun das rekonstruierte Signal $g(t)$ gezeigt. Im Alias-freien Fall für cos-, sin- und si-Funktion gilt $g(t)=s(t)$."
besteht aus Dirac-Impulsen, positioniert an den Zeitpunkten $nT$ und gewichtet mit dem Funktionswerten $s(nT)$. Die zugehörige Fourier-Transformierte $S_{\mathrm{a}}(f)$ wird aus periodischen Wiederholungen des Signalspektrums $S(f)$ zusammengesetzt:
Die Wiederholungen sind bei Vielfachen der Abtastrate $r=\frac{1}{T}$ positioniert.
Zur Rückgewinnung wird ein Rekonstruktionsfilter $h_\mathrm{TP}(t)$ eingesetzt, welches im Idealfall die die spektrale Kopie bei $k=0$ (auch Basisband genannt) aus $S_\mathrm{a}(f)$ rekonstruieren soll.
Hier wird das ideale Tiefpassfilter
$$H_\mathrm{TP}(f)=\mathrm{rect}\left(\frac{f}{2 f_\mathrm{g}}\right)$$ mit Grenzfrequenz $f_\mathrm{g} = \frac{r}{2}$ verwendet.
%% Cell type:markdown id: tags:
Zur Auswahl stehen vier Signale $s(t)$:
## Demo
Im Folgenden wird ein ideales Abtastsystem mit fester Abtastrate $r=2$ angenommen. Das ideale Rekonstruktionsfilter wird mit $f_\mathrm{g} = \frac{r}{2} = 1$ verwendet.
Zur Auswahl stehen die folgenden Signale $s(t)$, deren Frequenz $F$ variabel ist.
* $s(t) = \cos(2 \pi F t)$ mit $S(f) = \frac{1}{2}\delta(f-F)+\frac{1}{2}\delta(f+F)$,
* $s(t) = \sin(2 \pi F t)$ mit $S(f) = \frac{1}{2\mathrm{j}}\delta(f-F)-\frac{1}{2\mathrm{j}}\delta(f+F)$,
* $s(t) = \mathrm{si}(2 \pi F t)$ mit $S(f) = \frac{1}{2 |F|}\mathrm{rect}\left(\frac{f}{2F}\right)$,
* $s(t) = \mathrm{rect} (F t)$ mit $S(f) = \frac{1}{|F|}\mathrm{si}\left(\frac{\pi f}{F}\right)$ und
* $s(t) = \Lambda(F t)$ mit $S(f) = \frac{1}{|F|}\mathrm{si}^2\left(\frac{\pi f}{F}\right)$.
Achtung: Die letzten beiden Signale $s(t)$, Rechteck- und Dreieckimpuls, haben unendlich ausgedehnte Spektren $S(f)$. Daher ist eine fehlerfreie Rekonstruktion prinzipiell nicht möglich!
Zunächst werden $s(t)$ und $s_\mathrm{a}(t)$ im Zeitbereich betrachtet. Weiterhin wird das zu $s_\mathrm{a}(t)$ gehörige Spektrum $S_\mathrm{a}(f)$ dargestellt. In der gleichen Abbildung ist die Übertragungsfunktion $H_\mathrm{TP}(f)$ des Rekonstruktionsfilters gezeigt. In der letzten Abbildung wird nun das rekonstruierte Signal $g(t)$ gezeigt. Im Alias-freien Fall für cos-Funktion und si-Funktion gilt $g(t)=s(t)$.
Zunächst werden $s(t)$ und $s_\mathrm{a}(t)$ im Zeitbereich betrachtet. Weiterhin wird das zu $s_\mathrm{a}(t)$ gehörige Spektrum $S_\mathrm{a}(f)$ dargestellt. In der gleichen Abbildung ist die Übertragungsfunktion $H_\mathrm{TP}(f)$ des Rekonstruktionsfilters gezeigt. In der letzten Abbildung wird nun das rekonstruierte Signal $g(t)$ gezeigt. Im Alias-freien Fall für cos-, sin- und si-Funktion gilt $g(t)=s(t)$.
This notebook is provided as [Open Educational Resource](https://en.wikipedia.org/wiki/Open_educational_resources)(OER). Feel free to use the notebook for your own purposes. The code is licensed under the [MIT license](https://opensource.org/licenses/MIT).
Please attribute the work as follows:
*Emin Kosar, Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2019, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
"(tau,deltat) = np.linspace(-20, 20, 4001, retstep=True) # tau Achse\n",
"(tau,deltat) = np.linspace(-15, 15, 5001, retstep=True) # tau Achse\n",
"\n",
"signal_types = {'Rechteck' : rect, \n",
" 'Dreieck' : tri, \n",
...
...
@@ -191,7 +191,7 @@
"* Wähle zwei Rechtecke unterschiedlicher Breite aus. Wie sieht das entstehende Signal aus? Wie breit ist es? Was passiert, wenn eins der Rechtecke um $t_0$ verschoben wird?\n",
"* Welche Höhe bei $t=0$ hat das Resultat der Faltung $g(t) = \\mathrm{rect}\\left(\\frac{t}{2}\\right)\\ast \\mathrm{rect}\\left(\\frac{t}{2}\\right)$? Überprüfe die Überlegungen mit Hilfe der entsprechenden Funktionen in der Demo.\n",
"* Gilt das Kommutativgesetz $s(t) \\ast h(t) = h(t) \\ast s(t)$?\n",
"* Wie sieht das Faltungsergebnis zweier Si-Funktionen aus? Wie das Ergebnis zweier Gaußfunktionen?\n",
"* Wie sieht das Faltungsergebnis zweier si-Funktionen aus? Wie das Ergebnis zweier Gaußfunktionen?\n",
"* Reale Rechteckimpulse weisen nur eine endliche Flankensteilheit auf. Diese können beispielsweise mit $s(t)=\\mathrm{rect}(t)*\\mathrm{rect}(t/T)$ oder $s(t)=\\mathrm{rect}(t)*\\Lambda(\\frac{t}{T})$ beschrieben werden. Betrachte diese Fälle für $|T|<\\frac{1}{2}$. Wie hängen Gesamtdauer und Dauer der Anstiegsflanke von $T$ ab?"
]
},
...
...
%% Cell type:code id: tags:
``` python
# Copyright 2019 Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University
Wähle $s(t)$ und $h(t)$ sowie jeweils Verschiebung $t_0$ und Dehnungsfaktor $T$ für beide Signale: $s\left(\frac{t-t_0}{T}\right)$ und $h\left(\frac{t-t_0}{T}\right)$.
Zusätzlich zu Elementarsignalen kann auch eine frei definierbare Funktion $s_0(t)$ zur Faltung verwendet werden.
* Bewege den Schieberegler für $t$ und betrachte das entstehende Faltungsintegral. Wie sind die zugehörigen Integralsgrenzen und welche Intervalle (vgl. Notebook zur Faltung) sind zu beobachten?
* Wähle zwei Rechtecke unterschiedlicher Breite aus. Wie sieht das entstehende Signal aus? Wie breit ist es? Was passiert, wenn eins der Rechtecke um $t_0$ verschoben wird?
* Welche Höhe bei $t=0$ hat das Resultat der Faltung $g(t) = \mathrm{rect}\left(\frac{t}{2}\right)\ast \mathrm{rect}\left(\frac{t}{2}\right)$? Überprüfe die Überlegungen mit Hilfe der entsprechenden Funktionen in der Demo.
* Gilt das Kommutativgesetz $s(t) \ast h(t) = h(t) \ast s(t)$?
* Wie sieht das Faltungsergebnis zweier Si-Funktionen aus? Wie das Ergebnis zweier Gaußfunktionen?
* Wie sieht das Faltungsergebnis zweier si-Funktionen aus? Wie das Ergebnis zweier Gaußfunktionen?
* Reale Rechteckimpulse weisen nur eine endliche Flankensteilheit auf. Diese können beispielsweise mit $s(t)=\mathrm{rect}(t)*\mathrm{rect}(t/T)$ oder $s(t)=\mathrm{rect}(t)*\Lambda(\frac{t}{T})$ beschrieben werden. Betrachte diese Fälle für $|T|<\frac{1}{2}$. Wie hängen Gesamtdauer und Dauer der Anstiegsflanke von $T$ ab?
%% Cell type:markdown id: tags:
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Please attribute the work as follows:
*Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2019, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
#ax.set_xlabel(r'$\rightarrow f$'); ax.set_ylabel(r'$\uparrow \angle \mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f t_0}$'); ient_axis(ax)
```
%% Cell type:markdown id: tags:
This notebook is provided as [Open Educational Resource](https://en.wikipedia.org/wiki/Open_educational_resources)(OER). Feel free to use the notebook for your own purposes. The code is licensed under the [MIT license](https://opensource.org/licenses/MIT).
Please attribute the work as follows:
*Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2019, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
"mit $Q$ Nullstellen $p_{\\mathrm{N},q}$ und $R$ Polstellen $p_{\\mathrm{P},r}$ betrachtet und verändert werden. Dargestellt ist ein Pol-/Nullstellendiagramm, sowie die zugehörige Impulsantwort und Übertragungsfunktion."
"Es können vier verschiedene Filter (Butterworth, Sprungfunktion, Sinus und Cosinus) voreingestellt werden. Über den Schieberegler kann der Wert für $H_0$ angepasst werden. \n",
"\n",
"Bei *Modus* kann die Position des Konvergenzbereichs geändert werden, indem die entsprechende Option eingestellt und im Pol-/Nullstellendiagramm auf den Bereich geklickt wird, der der neue Konvergenzbereich sein soll. \n",
"\n",
"Ähnlich können auch Pol- und Nullstellen hinzugefügt oder gelöscht werden. Bei *Typ* wird eingestellt, ob es sich um eine Pol- oder Nullstelle handeln soll und unter *Modus* wird dann *hinzufügen* oder *löschen* ausgewählt. Durch Klicken im Pol-/Nullstellendiagramm können nun Pol- und Nullstellen hinzugefügt oder gelöscht werden. Entsprechend ändern sich dann auch die zugehörige Impulsantwort und Übertragungsfunktion.\n",
"\n",
"### Aufgaben\n",
"* Teste verschiedene Einstellungen und ihre Auswirkungen auf Impulsantwort und Übertragungsfunktion. Welche Auswirkung hat das Ändern von $H_0$? Wie sehen die voreingestellten Funktionen aus?\n",
"\n",
"* Entferne alle Pole und Nullstellen. Wie sieht die Impulsantwort aus? Welche Auswirkung hat das Ändern von $H_0$?\n",
"\n",
"* Erstelle eine Polstelle auf der imaginären Achse. Welche Auswirkung hat diese auf die Übertragungsfunktion?\n",
"\n",
"* Erstelle ein Pol-/Nullstellendiagram mit mehreren möglichen Polstellen. Ändere den Konvergenzbereich. Wann existiert eine Übertragungsfunktion?\n",
"\n"
]
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"This notebook is provided as [Open Educational Resource](https://en.wikipedia.org/wiki/Open_educational_resources) (OER). Feel free to use the notebook for your own purposes. The code is licensed under the [MIT license](https://opensource.org/licenses/MIT). \n",
"\n",
"Please attribute the work as follows: \n",
"*Emin Kosar, Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung \"Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme\"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2019, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University."
