- bugfix in RLC

- updated ient_nb

GDET3 RLC-System.ipynb

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     "$$p_{\\mathrm{P},1,2} = \n",
     "- \\underbrace{\\frac{R}{2L}}_{=a} \\pm \\underbrace{\\sqrt{\\frac{R^2}{4L^2} - \\frac{1}{LC}}}_{=b}\n",
     "$$\n",
-    "mit $a=\\frac{R}{2L}$ und $b=\\sqrt{\\frac{R^2}{4L^2}-\\frac{1}{LC}}$"
+    "mit $a=\\frac{R}{2L}$ und $b=\\sqrt{\\frac{R^2}{4L^2}-\\frac{1}{LC}}$."
    ]
   },
   {
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    "source": [
     "## Fourier-Übertragungsfunktion\n",
     "Aus der Laplaceübertragungsfunktion kann die Fourierübertragungsfunktion berechnet werden, indem $p = \\mathrm{j}2\\pi f$ gesetzt wird:\n",
-    "$$H(p = \\mathrm{j}2\\pi f)$ mit $\\omega_0 = \\frac{1}{\\sqrt{LC}}$$"
+    "$$H(p = \\mathrm{j}2\\pi f) \\quad\\text{mit}\\quad \\omega_0 = \\frac{1}{\\sqrt{LC}}$$"
    ]
   },
   {
 %% Cell type:code id: tags:
 
 ``` python
 # Copyright 2019 Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University
 %matplotlib widget
 
 from ipywidgets import interact, interactive
 import ipywidgets as widgets
 from IPython.display import clear_output, display, HTML
 
 import cmath # for sqrt(-1)
 
 from ient_nb.ient_plots import *
 from ient_nb.ient_signals import *
 
 plt.close('all')
 ```
 
 %% Cell type:markdown id: tags:
 
 <div class="inline-block">
     <img src="ient_nb/figures/rwth_ient_logo@2x.png" style="float: right;height: 5em;">
 </div>
 
 # RLC-System
 
 %% Cell type:markdown id: tags:
 
 Es wird folgendes RLC-System betrachtet:
 
 ![Blockdiagramm](figures/rlc_system_block_diagram.png)
 
 %% Cell type:code id: tags:
 
 ``` python
 # Exemplary values
 R = 16 # Ohm
 L = 1.5E-3  # Henry, mH
 C = 1E-6 # Farad, myF
 ```
 
 %% Cell type:markdown id: tags:
 
 ## Berechnung Laplace-Übertragungsfunktion
 
 Die Übertragungsfunktion des Systems kann im Laplace-Bereich mittels Spannungsteiler berechnet werden:
 
 $$
 H(p)
 =
 \frac{U_2(p)}{U_1(p)}
 =
 \frac{1/(Cp)}{R+Lp+1/(Cp)}
 =
 \frac{1}{LCp^2+RCp+1}
 =
 \frac{1/(LC)}{p^2+(R/L)p + 1/(LC)}
 $$
 
 mit $p = \sigma + \mathrm{j}\omega = \sigma + \mathrm{j}2 \pi f$.
 
 %% Cell type:code id: tags:
 
 ``` python
 # Laplace transfer function
 H_laplace = lambda p: 1/(L*C*p**2+R*C*p+1);
 ```
 
 %% Cell type:markdown id: tags:
 
 ### Polstellen
 Die zugehörigen Polstellen berechnen sich zu
 
 $$p_{\mathrm{P},1,2} =
 - \underbrace{\frac{R}{2L}}_{=a} \pm \underbrace{\sqrt{\frac{R^2}{4L^2} - \frac{1}{LC}}}_{=b}
 $$
-mit $a=\frac{R}{2L}$ und $b=\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}$
+mit $a=\frac{R}{2L}$ und $b=\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}$.
 
 %% Cell type:code id: tags:
 
 ``` python
 # Poles
 a = R/(2*L)
 b = cmath.sqrt(R**2/(4*L**2)-1/(L*C))
 
 p_p1 = -a+b
 p_p2 = -a-b
 
 # Print out the numbers
 print("a={0:.3f}".format(a))
 print("b={0:.3f}".format(b))
 
 if R**2/(4*L**2) >= 1/(L*C): print("b reell")
 else: print("b imaginär")
 
 print("\nPolstellen:")
 print("p_p1={0:.3f}, p_p2={0:.3f}".format(p_p1, p_p2))
 ```
 
 %% Cell type:markdown id: tags:
 
 ### Pol-Nulstellendiagramm
 Nachfolgend wird das Pol-Nulstellendiagramm geplottet. Es enthält die beiden konjugiert komplexen Polstellen, den Konvergenzbereich und das zugehörige $H_0$.
 Da der Konvergenzbereich die imaginäre Achse beinhaltet, ist das System stabil.
 
 %% Cell type:code id: tags:
 
 ``` python
 beta = np.imag(b) # Imaginary part of the poles
 
 pp = np.array([p_p1, p_p2]); pz = np.array([]) # Zeros # Poles and Zeros
 ord_p = np.array([1, 1]); ord_z = np.array([]) # Poles' and Zeros' orders
 roc = np.array([np.max(np.real(pp)), np.inf]) # region of convergence
 
 # Plot
 fig, ax = plt.subplots()
 ax.plot(np.real(pp), np.imag(pp), **ient_style_poles); ax.plot(np.real(pp), -np.imag(pp), **ient_style_poles); ient_annotate_order(ax, pp, ord_p);
 ax.plot(np.real(pz), np.imag(pz), **ient_style_zeros); ax.plot(np.real(pz), -np.imag(pz), **ient_style_zeros); ient_annotate_order(ax, pz, ord_z);
 ient_plot_lroc(ax, roc, 500, np.imag(p_p1)); ax.text(-1000,ax.get_ylim()[1]*0.8,'$H_0 = 1/(LC)$',bbox = ient_wbbox);
 ax.set_xlim(ax.get_xlim()[0], 300); ient_annotate_xtick(ax, r'$-a$', -a,0,'k');
 ax.set_xlabel(r'$\rightarrow \mathrm{Re}\{p\}$'); ax.set_ylabel(r'$\uparrow \mathrm{Im}\{p\}$'); ient_grid(ax); ient_axis(ax);
 ```
 
 %% Cell type:markdown id: tags:
 
 ## Fourier-Übertragungsfunktion
 Aus der Laplaceübertragungsfunktion kann die Fourierübertragungsfunktion berechnet werden, indem $p = \mathrm{j}2\pi f$ gesetzt wird:
-$$H(p = \mathrm{j}2\pi f)$ mit $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$
+$$H(p = \mathrm{j}2\pi f) \quad\text{mit}\quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$
 
 %% Cell type:code id: tags:
 
 ``` python
 # Fourier transfer function
 H_fourier = lambda f: H_laplace(1j*2*np.pi*f)
 f = np.linspace(0, 10000, 10000) # frequency axis
 
 # Resonance frequency
 omega0 = 1/np.sqrt(L*C)
 f0 = omega0/(2*np.pi)
 
 # Plot
 fig,ax = plt.subplots()
 ax.plot(f/1000, np.abs(H_fourier(f))); ient_axis(ax)
 ax.set_xlabel(r'$\rightarrow f$ [kHz]'); ax.set_ylabel(r'$\uparrow |H(f)|$');
 ient_annotate_xtick(ax, r'$f_0 = \omega_0/(2\pi)$', omega0/(2*np.pi)/1000,-0.25,'k');
 ax.axvline(f0/1000,0,1, color='k',linestyle='--');
 ```
 
 %% Cell type:markdown id: tags:
 
 ## Impulsantwort
 
 Die Impulsantwort kann mittels Partialbruchzerlegung (siehe Vorlesung) bestimmt werden zu
 
 $$
 h(t) = \frac{\mathrm{e}^{-at}}{bLC}
 \frac{\mathrm{e}^{bt}-\mathrm{e}^{-bt}}{2}
 \cdot \varepsilon(t)
 $$
 
 mit $a=\frac{R}{2L}$ und $b=\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}$.
 Der nachfolgende Plot zeigt diese Impulsantwort.
 
 %% Cell type:code id: tags:
 
 ``` python
 # Impulse response (time-domain)
 h = lambda t: np.real(np.exp(-a*t)/(b*L*C)*(np.exp(b*t)-np.exp(-b*t))/2*unitstep(t))
 t = np.linspace(-0.001, 0.01, 10000) # time axis
 
 # Plot
 fig,ax = plt.subplots()
 ax.plot(t*1000, h(t), 'rwth'); ient_axis(ax); ax.set_xlim([-0.1, 5])
 ax.set_xlabel(r'$\rightarrow t$ [ms]'); ax.set_ylabel(r'$\uparrow h(t)$');
 #np.mean(np.abs(h(t) - 1/(beta*L*C)*np.exp(-a*t)*np.sin(beta*t)*unitstep(t))**2)
 ```
 
 %% Cell type:markdown id: tags:
 
 ## Interaktive Demo
 
 In dieser interaktiven Demo kann das Verhalten des Systems für variable Werte von $R$ betrachtet werden. Über den Schieberegler kann der Wert für $R$ geändert werden, entsprechend sieht man die Änderungen für die Fourier-Übertragungsfunktion und die Impulsantwort.
 
 %% Cell type:code id: tags:
 
 ``` python
 fig0,axs = plt.subplots(2, 1, figsize=(8,16)); fig0.canvas.layout.height= '600px'
 @widgets.interact(Rsel=widgets.FloatSlider(min=0, max=200, step=1, value=R, description='$R$ [$\Omega$]'))
 def update_plot(Rsel):
     H_laplace = lambda p: 1/(L*C*p**2+Rsel*C*p+1);
     H_fourier = lambda f: H_laplace(1j*2*np.pi*f);
 
     a = Rsel/(2*L)
     b = cmath.sqrt(Rsel**2/(4*L**2)-1/(L*C))
     h = lambda t: np.real(np.exp(-a*t)/(b*L*C)*(np.exp(b*t)-np.exp(-b*t))/2*unitstep(t))
 
     if not axs[0].lines: # Call plot() and decorate axes. Usually, these functions take some processing time
         ax = axs[0]; ax.plot(f/1000, np.abs(H_fourier(f))); ient_axis(ax)
         ax.set_xlabel(r'$\rightarrow f$ [kHz]'); ax.set_ylabel(r'$\uparrow |H(f)|$');
         ax.axvline(f0/1000,0,1, color='k',linestyle='--');
 
         ax = axs[1]; ax.plot(t*1000, h(t), 'rwth'); ient_axis(ax); ax.set_xlim([-.225, 5])
         ax.set_xlabel(r'$\rightarrow t$ [ms]'); ax.set_ylabel(r'$\uparrow h(t)$');
 
     else: # If lines exist, replace only xdata and ydata since plt.plot() takes longer time
         axs[0].lines[0].set_ydata(np.abs(H_fourier(f)))
         axs[1].lines[0].set_ydata(h(t))
 
     tmp = np.max(np.abs(H_fourier(f))); ient_update_ylim(axs[0], np.abs(H_fourier(f)), 0.1*tmp, tmp+10 )
     tmp = np.max(np.abs(h(t))); ient_update_ylim(axs[1], (h(t)), 0.1*tmp, tmp+10 )
     display(HTML('{}<br />{}'.format('a={0:.3f}'.format(a), 'b={0:.3f}'.format(b))))
 ```
 
 %% Cell type:markdown id: tags:
 
 This notebook is provided as [Open Educational Resource](https://en.wikipedia.org/wiki/Open_educational_resources) (OER). Feel free to use the notebook for your own purposes. The code is licensed under the [MIT license](https://opensource.org/licenses/MIT).
 
 Please attribute the work as follows:
 *Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2019, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.

ient_nb @ 6fc03316

-Subproject commit 24cb9556b1cbfb867100821a3dbfbecac9bdd0cb
+Subproject commit 6fc03316b416c63d7939dc5b0b6607a48101aa08