"* Wähle eine cos-Funktion für $s(t)$ und setze $F$ auf die kleinstmögliche Größe. Im Spektrum ist die Frequenz des Cosinus zu erkennen und im Zeitbereich wird dieser perfekt rekonstruiert. Erhöhe nun $F$ schrittweise. Beobachte das Spektrum. Was passiert und warum?\n",
"* Betrachte das Spektrum für $F=1$. Vergleiche die Höhe der Diracs mit denen für $F=0.9$ und $F=1.1$. Wie ist der Unterschied zu erklären? \n",
"* Für $F\\leq 1$ wird das Signal nicht mehr perfekt rekonstruiert. Dieser Effekt nennt sich Aliasing. Wie verhält sich das rekonstruierte Signal bei größer werdendem $F$?\n",
"* Für $F\\geq 1$ wird das Signal nicht mehr perfekt rekonstruiert. Dieser Effekt nennt sich Aliasing. Wie verhält sich das rekonstruierte Signal bei größer werdendem $F$?\n",
"* Betrachte abschließend $F=2$. Was passiert hier? \n",
"* Wähle nun eine sin-Funktion und untersuche dieselben Dinge, wie zuvor für die cos-Funktion. Wie ist das Ergebnis für $F=1$ und $F=2$ zu erklären?\n",
"* Betrachte die si-Funktion. Das Spektrum der si-Funktion ist ein Rechteck. Was passiert, wenn $F$ größere Werte annimmt? Warum?\n",
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# Copyright 2019 Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University
besteht aus Dirac-Impulsen, positioniert an den Zeitpunkten $nT$ und gewichtet mit dem Funktionswerten $s(nT)$. Die zugehörige Fourier-Transformierte $S_{\mathrm{a}}(f)$ wird aus periodischen Wiederholungen des Signalspektrums $S(f)$ zusammengesetzt:
Die Wiederholungen sind bei Vielfachen der Abtastrate $r=\frac{1}{T}$ positioniert und mit $r=\frac{1}{T}$ gewichtet.
Zur Rückgewinnung wird ein Rekonstruktionsfilter $h_\mathrm{TP}(t)$ eingesetzt, welches im Idealfall die die spektrale Kopie bei $k=0$ (auch Basisband genannt) aus $S_\mathrm{a}(f)$ rekonstruieren soll.
Hier wird das ideale Tiefpassfilter
$$H_\mathrm{TP}(f)=\mathrm{rect}\left(\frac{f}{2 f_\mathrm{g}}\right)$$ mit Grenzfrequenz $f_\mathrm{g} = \frac{r}{2}$ verwendet.
Zur Rückgewinnung im Spektralbereich wird dieser ideale Tiefpass mit dem Spektrums des abgetasteten Signals $S_{\mathrm{a}}(f)$ multipliziert. Das Spektrum des rekonstruierten Signals ist somit
Das rekonstuierte Signal im Zeitbereich $g(t)$ wird dann durch Rücktransformation gewonnen.
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## Demo
Im Folgenden wird ein ideales Abtastsystem mit fester Abtastrate $r=2$ angenommen. Das ideale Rekonstruktionsfilter wird mit $f_\mathrm{g} = \frac{r}{2} = 1$ verwendet.
Zur Auswahl stehen die folgenden Signale $s(t)$, deren Frequenz $F$ variabel ist.
* $s(t) = \cos(2 \pi F t)$ mit $S(f) = \frac{1}{2}\delta(f-F)+\frac{1}{2}\delta(f+F)$,
* $s(t) = \sin(2 \pi F t)$ mit $S(f) = \frac{1}{2\mathrm{j}}\delta(f-F)-\frac{1}{2\mathrm{j}}\delta(f+F)$,
* $s(t) = \mathrm{si}(2 \pi F t)$ mit $S(f) = \frac{1}{2 |F|}\mathrm{rect}\left(\frac{f}{2F}\right)$,
* $s(t) = \mathrm{rect} (F t)$ mit $S(f) = \frac{1}{|F|}\mathrm{si}\left(\frac{\pi f}{F}\right)$ und
* $s(t) = \Lambda(F t)$ mit $S(f) = \frac{1}{|F|}\mathrm{si}^2\left(\frac{\pi f}{F}\right)$.
Achtung: Die letzten beiden Signale $s(t)$, Rechteck- und Dreieckimpuls, haben unendlich ausgedehnte Spektren $S(f)$. Daher ist eine fehlerfreie Rekonstruktion prinzipiell nicht möglich!
Zunächst werden $s(t)$ und $s_\mathrm{a}(t)$ im Zeitbereich betrachtet. Weiterhin wird das zu $s_\mathrm{a}(t)$ gehörige Spektrum $S_\mathrm{a}(f)$ dargestellt. In der gleichen Abbildung ist die Übertragungsfunktion $H_\mathrm{TP}(f)$ des Rekonstruktionsfilters gezeigt.
Das Spektrum des rekonstruierten Signal $G(f)=S_\mathrm{a}(f) \cdot H_\mathrm{TP}(f) \cdot T$ wird in der nächsten Abbildung dargestellt.
In der letzten Abbildung wird nun das rekonstruierte Signal $g(t)$ gezeigt. Im Alias-freien Fall für cos-, sin- und si-Funktion gilt $g(t)=s(t)$.
* Wähle eine cos-Funktion für $s(t)$ und setze $F$ auf die kleinstmögliche Größe. Im Spektrum ist die Frequenz des Cosinus zu erkennen und im Zeitbereich wird dieser perfekt rekonstruiert. Erhöhe nun $F$ schrittweise. Beobachte das Spektrum. Was passiert und warum?
* Betrachte das Spektrum für $F=1$. Vergleiche die Höhe der Diracs mit denen für $F=0.9$ und $F=1.1$. Wie ist der Unterschied zu erklären?
* Für $F\leq 1$ wird das Signal nicht mehr perfekt rekonstruiert. Dieser Effekt nennt sich Aliasing. Wie verhält sich das rekonstruierte Signal bei größer werdendem $F$?
* Für $F\geq 1$ wird das Signal nicht mehr perfekt rekonstruiert. Dieser Effekt nennt sich Aliasing. Wie verhält sich das rekonstruierte Signal bei größer werdendem $F$?
* Betrachte abschließend $F=2$. Was passiert hier?
* Wähle nun eine sin-Funktion und untersuche dieselben Dinge, wie zuvor für die cos-Funktion. Wie ist das Ergebnis für $F=1$ und $F=2$ zu erklären?
* Betrachte die si-Funktion. Das Spektrum der si-Funktion ist ein Rechteck. Was passiert, wenn $F$ größere Werte annimmt? Warum?
* Setze $F=1$. Kann aus $S_a(f)$ prinzipiell das ursprüngliche Signal rekonstruiert werden? Warum wird das Signal trotzdem perfekt rekonstruiert?
* Betrachte $F \leq 1$. Welche Form nimmt $G(f)$ an und wie wirkt sich das auf das rekonstruierte Signal aus?
Nun wird der Rechteckimpuls und der Dreiecksimpuls betrachtet. Im Gegensatz zu den vorherigen Funktionen ist das Spektrum hier, wie bereits oben erwähnt, unendlich ausgedehnt. Daher ist eine fehlerfreie Rekonstruktion prinzipiell nicht möglich.
* Starte wieder mit dem kleinstmöglichen $F$. Betrachte das Spektrum des abgetasteten Signals $S_{\mathrm{a}}(f)$ und das Spektrum nach Anwendung des Rekonstruktionsfilters $G(f)$. Wie müsste $G(f)$ für fehlerfreie Rekonstruktion aussehen? Was erzeugt den Unterschied?
* Erhöhe nun $F$ schrittweise und betrachte die Änderung von $S_{\mathrm{a}}(f)$, $G(f)$ und $g(t)$. Ab welchem $F$ ist das Ausgangssignal nicht mehr zu erkennen?
* Was passiert für $F \leq 1$ und wie erklärt sich das?
* Führe dieselben Überlegungen für den Dreiecksimpuls aus. Wie erklärt sich das unterschiedliche Verhalten?
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Please attribute the work as follows:
*Emin Kosar, Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2019, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
