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## Einleitung
Ein diskretes Signal ist ein Signal, welches nur für ganzzahlige Werte $n$ einen Wert annimmt und sonst Null ist. Auch für die Elementarsignale existieren jeweils zeitdiskrete Versionen. Diese Demonstration nutzt einige davon.
Diskrete Signale können genau wie kontinuierliche Signale gefaltet werden.
Unter der folgenden Abbildungen können diese Funktionen ausgewählt werden und, falls gewünscht, eine Verschiebung um $n_0$ eingestellt werden. Für den Exponentialimpuls ist ebenfalls der Faktor $b$ variierbar, für die Rechteckfunktion ist die Breite $M$ wählbar. In der Abbildung können dann die gewählten Funktionen mit ihren Parametern betrachtet werden.
Anschließend kann hier die Faltung $g(n)=s(n)\ast h(n)$ der zuvor eingestellten Funktionen betrachtet werden.
Über den Schieberegler kann der Wert für $n$ verändert werden und die Funktion $h(n-m)$ bewegt sich in der oberen Grafik. In der unteren Grafik ist das resultierende Ausgangssignal $g(n)$ zu sehen.
Wähle zunächst für $s(n)$ den Dirac-Impuls und für $h(n)$ verschiedene Funktionen aus.
* Beobachte das Faltungsergebnis. Ab welchem $n$ ist ein Ergebnis zu sehen? Was passiert, wenn du eine der Funktionen verschiebst?
* Wie sieht das Ergebnis für zwei Rechteckfunktionen aus? Wie für zwei Sprungfunktionen?
Wähle nun zwei Rechteckfunktionen mit $M>2$.
* Bewege den Schieberegler langsam von links nach rechts. An welcher Stelle tritt der erste Wert des Faltungsergebnisses auf? Wie hoch ist dieser Wert?
* Bewege den Schieberegler eins weiter nach rechts. Nun überlagern sich die beiden Signalen an zwei Positionen. Wie hoch ist der Wert des Faltungsergebnisses nun?
* Bewege den Schieberegler weiter, bis die beiden Funktionen sich vollständig überlagern. Was passiert, wenn nun der Schieberegler weiter nach rechts geschoben wird? Wie hoch ist der Wert des Faltungsergebnisses? Wie berechnen sich die Höhen des Faltungsergebnisses?
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Please attribute the work as follows:
*Christian Rohlfing, Emin Kosar, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2019, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
"Im Gegensatz zur [idealen Abtastung](GDET3%20Ideale%20Abtastung.ipynb) werden hier zwei Verfahren zur realen Abtastung betrachtet.\n",
"Im Gegensatz zur [idealen Abtastung](GDET3%20Ideale%20Abtastung.ipynb) werden hier zwei Verfahren zur realen Abtastung betrachtet. Tatsächlich kann nicht mit einem idealen Dirac an einem definierten Zeitpunkt abgetastet werden. Im Folgenden werden zwei Verfahren der Abtastung, die *Shape-top Abtastung* und die *Flat-top Abtastung* beschrieben.\n",
"\n",
"## Shape-top Abtastung\n",
"\n",
"Abtastung in Intervallen endlicher Dauer $T_0$ mit Abstand $T=\\frac{1}{r}$\n",
"Bei der Shape-top Abtastung wird das kontinuierliche Signal $s(t)$ mit Abstand $T=\\frac{1}{r}$ abgetastet. \n",
"Anstatt einer Diracfolge wird eine Folge schmaler Rechteckimpulse mit endlicher Dauer $T_0$ verwendet. Das abgetastete Signal $s_0(t)$ ergibt sich zu\n",
"Jede spektrale Kopie, zentriert bei $\\frac{k}{T}$, wird skaliert mit von $f$ unabhängigen Faktor $\\mathrm{si} \\left(\\pi T_0 \\frac{k}{T}\\right)$.\n",
"Auch hier entstehen wie bei der idealen Abtastung spektrale Kopien, welche um $\\frac{k}{T}$ zentriert sind. Jede spektrale Kopie wird mit einem von $f$ unabhängigen Faktor $\\mathrm{si} \\left(\\pi T_0 \\frac{k}{T}\\right)$ skaliert.\n",
"Der Grenzübergang $T_0\\rightarrow 0$ liefert hier die ideale Abtastung: $\\lim\\limits_{T_0\\rightarrow 0}\\left(\\frac{1}{T_0}s_0(t)\\right) = s_\\mathrm{a}(t)$."
]
},
{
...
...
@@ -75,41 +76,48 @@
"metadata": {},
"source": [
"## Flat-top Abtastung\n",
"\n",
"Abtastung in Intervallen endlicher Dauer und um $T=\\frac{1}{r}$ gehaltene Signalwerte\n",
"Bei der Flat-top Abtastung wird in Intervallen endlicher Dauer abgetastet und der Signalwert dann um $T=\\frac{1}{r}$ gehalten. Dieses Verfahren wird häufig in Analog-Digital-Wandlern eingesetzt. Das abgetastete Signal $s_0(t)$ ergibt sich somit zu\n",
"Zunächst wird nocheinmal die [ideale Abtastung](GDET3%20Ideale%20Abtastung.ipynb) wiederholt. In der Abbildung ist als gestrichelte Linie das Signal $s(t)$ dargestellt, das zugehörige Spektrum in blau. Das Signal wird mit Abtastrate $r=2$ abgetastet.\n",
"Das abgetastete Signal \n",
"$s_\\mathrm{a}(t) = \\sum\\limits_{n=-\\infty}^\\infty s(nT)\\cdot\\delta(t-nT)$ und das Spektrum des abgetasteten Signals \n",
"$S_\\mathrm{a}(f) = \\frac{1}{T} \\sum\\limits_{k=-\\infty}^\\infty S(f-kr)$ sind ebenfalls abgebildet. \n",
"\n",
"Das Spektrum des abgetasteten Signals zeigt die für die Abtastung typischen spektralen Wiederholungen. "
]
},
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}
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"# Construction of s(t) and corresponding spectrum S(f)\n",
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...
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"cell_type": "markdown",
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"source": [
"Nun wird das abgetastete Signal $s_0(t)$ im Zeitbereich betrachtet, welches mittels Flat-top Abtastung erzeugt wurde.\n",
"Nun wird das abgetastete Signal $s_0(t)$ im Zeitbereich betrachtet, welches mittels Flat-top Abtastung erzeugt wurde:\n",
"Für die Flat-top Abtastung charakteristisch wird der Signalwert bis zum nächsten Abtastwert gehalten. "
]
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"# Time-Domain\n",
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"Nun $S_0(f)$ im Frequenzbereich\n",
"Dies hat im Frequenzbereich zur Konsequenz, dass die spektralen Kopien mit $T \\mathrm{si}(\\pi f T) \\cdot \\mathrm{e}^{-j\\pi f T}$ gewichtet werden. \n",
"$S_0(f)$ ergibt sich also zu\n",
"$$\n",
"S_0(f) \n",
"= S_\\mathrm{a}(f) \\cdot T \\mathrm{si}(\\pi f T) \\cdot \\mathrm{e}^{-j\\pi f T}\n",
"$$"
"= S_\\mathrm{a}(f) \\cdot T \\mathrm{si}(\\pi f T) \\cdot \\mathrm{e}^{-j\\pi f T}.\n",
"$$\n",
"Die nachfolgende Abbildung verdeutlicht diesen Effekt."
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...
...
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"### Rekonstruktion\n",
"\n",
"Durch die Multiplikation von $S_\\mathrm{a}(f)$ mit $T \\cdot \\mathrm{si}(\\pi f T) \\cdot \\mathrm{e}^{-j\\pi f T}$ wird das Spektrum $S_0(f)$ im Basisband verzerrt. So ist es nicht möglich, $S(f)$ mittels eines einfachen idealen Tiefpasses zu rekonstruieren. Zusätzlich ist ein Filter zum Ausgleich nötig\n",
"Durch die Multiplikation von $S_\\mathrm{a}(f)$ mit $T \\cdot \\mathrm{si}(\\pi f T) \\cdot \\mathrm{e}^{-j\\pi f T}$ wird das Spektrum $S_0(f)$ im Basisband verzerrt. So ist es nicht möglich, $S(f)$ mittels eines einfachen idealen Tiefpasses zu rekonstruieren. Zusätzlich ist ein Filter nötig, welches diesen Faktor ausgleicht, dieses ist in der folgenden Abbildung dargestellt.\n",
"$$\n",
"H_\\mathrm{eq}(f) = \\frac{1}{T \\cdot \\mathrm{si}(\\pi f T) \\cdot \\mathrm{e}^{-j\\pi f T}}\n",
"$$"
...
...
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"# Reconstruction filters #plt.close('all')\n",
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"Dieses Filter wird nun zur Rekonstruktion angewendet:"
"Dieses Filter wird nun zur Rekonstruktion angewendet. \n",
"Das rekonstruierte Signal unter Verwendung des ausgleichenden Filters ist unten abgebildet. Das Originalsignal konnte erfolgreich rekonstruiert werden. "
]
},
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...
...
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"source": [
"## Demo"
"## Demo\n",
"In der folgenden interaktiven Demonstration kann nun betrachtet werden, was der Unterschied zwischen der Flat-top und der Shape-top Abtastung ist. \n",
"Dargestellt sind untereinander:\n",
"* der Zeitbereich mit dem Originalsignal und dem abgestasteten Signal\n",
"* der zugehörige Frequenzbereich mit dem Originalspektrum, dem Spektrum des abgetasteten Signal und dem Rekonstruktionsfilter\n",
"* das rekonstruierte Spektrum\n",
"* das rekonstruierte Signal im Zeitbereich.\n",
"\n",
"Im Drop-Down-Menü kann die Art der Abtastung (Shape-top oder Flat-top) sowie die abzutastende Funktion (Cosinus-, Sinus-und si-Funktion, sowie Rechteck- oder Dreieckimpuls) ausgewählt werden. \n",
"Über den Schieberegler kann $F$ geändert werden, was bei Cosinus-, Sinus- und si-Funktion die Frequenz und bei Rechteck- und Dreieckimpuls die Breite beeinflusst. "
Im Gegensatz zur [idealen Abtastung](GDET3%20Ideale%20Abtastung.ipynb) werden hier zwei Verfahren zur realen Abtastung betrachtet.
Im Gegensatz zur [idealen Abtastung](GDET3%20Ideale%20Abtastung.ipynb) werden hier zwei Verfahren zur realen Abtastung betrachtet. Tatsächlich kann nicht mit einem idealen Dirac an einem definierten Zeitpunkt abgetastet werden. Im Folgenden werden zwei Verfahren der Abtastung, die *Shape-top Abtastung* und die *Flat-top Abtastung* beschrieben.
## Shape-top Abtastung
Abtastung in Intervallen endlicher Dauer $T_0$ mit Abstand $T=\frac{1}{r}$
Bei der Shape-top Abtastung wird das kontinuierliche Signal $s(t)$ mit Abstand $T=\frac{1}{r}$ abgetastet.
Anstatt einer Diracfolge wird eine Folge schmaler Rechteckimpulse mit endlicher Dauer $T_0$ verwendet. Das abgetastete Signal $s_0(t)$ ergibt sich zu
Jede spektrale Kopie, zentriert bei $\frac{k}{T}$, wird skaliert mit von $f$ unabhängigen Faktor $\mathrm{si} \left(\pi T_0 \frac{k}{T}\right)$.
Auch hier entstehen wie bei der idealen Abtastung spektrale Kopien, welche um $\frac{k}{T}$ zentriert sind. Jede spektrale Kopie wird mit einem von $f$ unabhängigen Faktor $\mathrm{si} \left(\pi T_0 \frac{k}{T}\right)$ skaliert.
Der Grenzübergang $T_0\rightarrow 0$ liefert hier die ideale Abtastung: $\lim\limits_{T_0\rightarrow 0}\left(\frac{1}{T_0}s_0(t)\right) = s_\mathrm{a}(t)$.
%% Cell type:markdown id: tags:
## Flat-top Abtastung
Abtastung in Intervallen endlicher Dauer und um $T=\frac{1}{r}$ gehaltene Signalwerte
Bei der Flat-top Abtastung wird in Intervallen endlicher Dauer abgetastet und der Signalwert dann um $T=\frac{1}{r}$ gehalten. Dieses Verfahren wird häufig in Analog-Digital-Wandlern eingesetzt. Das abgetastete Signal $s_0(t)$ ergibt sich somit zu
Zunächst wird nocheinmal die [ideale Abtastung](GDET3%20Ideale%20Abtastung.ipynb) wiederholt. In der Abbildung ist als gestrichelte Linie das Signal $s(t)$ dargestellt, das zugehörige Spektrum in blau. Das Signal wird mit Abtastrate $r=2$ abgetastet.
Das abgetastete Signal
$s_\mathrm{a}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^\infty s(nT)\cdot\delta(t-nT)$ und das Spektrum des abgetasteten Signals
$S_\mathrm{a}(f) = \frac{1}{T} \sum\limits_{k=-\infty}^\infty S(f-kr)$ sind ebenfalls abgebildet.
Das Spektrum des abgetasteten Signals zeigt die für die Abtastung typischen spektralen Wiederholungen.
%% Cell type:code id: tags:
``` python
# Construction of s(t) and corresponding spectrum S(f)
Durch die Multiplikation von $S_\mathrm{a}(f)$ mit $T \cdot \mathrm{si}(\pi f T) \cdot \mathrm{e}^{-j\pi f T}$ wird das Spektrum $S_0(f)$ im Basisband verzerrt. So ist es nicht möglich, $S(f)$ mittels eines einfachen idealen Tiefpasses zu rekonstruieren. Zusätzlich ist ein Filter zum Ausgleich nötig
Durch die Multiplikation von $S_\mathrm{a}(f)$ mit $T \cdot \mathrm{si}(\pi f T) \cdot \mathrm{e}^{-j\pi f T}$ wird das Spektrum $S_0(f)$ im Basisband verzerrt. So ist es nicht möglich, $S(f)$ mittels eines einfachen idealen Tiefpasses zu rekonstruieren. Zusätzlich ist ein Filter nötig, welches diesen Faktor ausgleicht, dieses ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
$$
H_\mathrm{eq}(f) = \frac{1}{T \cdot \mathrm{si}(\pi f T) \cdot \mathrm{e}^{-j\pi f T}}
$$
%% Cell type:code id: tags:
``` python
# Reconstruction filters #plt.close('all')
## Ideal Low pass to crop the base band
H_lp=rect(f/(r+0.001))# ideal low pass between -r/2 and r/2
## Equalizing filter to compensate the influence of si(...) and exp(...) terms in S_0(f)
