Da in diesem Fall der Konvergenzbereich links vom linkesten Pol liegt und somit nicht die imaginäre Achse beinhaltet, existiert die Fouriertransformierte nicht.
Eine ausführlichere Demo zur Laplacetransformation findet man [hier](GDET3%20Laplace-Transformation%20GUI.ipynb).
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Please attribute the work as follows:
*Emin Kosar, Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2020, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
Nachfolgend wird das Pol-Nulstellendiagramm geplottet. Es enthält die beiden konjugiert komplexen Polstellen, den Konvergenzbereich und das zugehörige $H_0$.
Da der Konvergenzbereich die imaginäre Achse beinhaltet, ist das System stabil.
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``` python
beta=np.imag(b)# Imaginary part of the poles
pp=np.array([p_p1,p_p2]);pz=np.array([])# Zeros # Poles and Zeros
ord_p=np.array([1,1]);ord_z=np.array([])# Poles' and Zeros' orders
roc=np.array([np.max(np.real(pp)),np.inf])# region of convergence
In dieser interaktiven Demo kann das Verhalten des Systems für variable Werte von $R$ betrachtet werden. Über den Schieberegler kann der Wert für $R$ geändert werden, entsprechend sieht man die Änderungen für die Fourier-Übertragungsfunktion und die Impulsantwort.
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*Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2020, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
Im Gegensatz zur [idealen Abtastung](GDET3%20Ideale%20Abtastung.ipynb) werden hier zwei Verfahren zur realen Abtastung betrachtet. Tatsächlich kann nicht mit einem idealen Dirac an einem definierten Zeitpunkt abgetastet werden. Im Folgenden werden zwei Verfahren der Abtastung, die *Shape-top Abtastung* und die *Flat-top Abtastung* beschrieben.
## Shape-top Abtastung
Bei der Shape-top Abtastung wird das kontinuierliche Signal $s(t)$ mit Abstand $T=\frac{1}{r}$ abgetastet.
Anstatt einer Diracfolge wird eine Folge schmaler Rechteckimpulse mit endlicher Dauer $T_0$ verwendet. Das abgetastete Signal $s_0(t)$ ergibt sich zu
Auch hier entstehen wie bei der idealen Abtastung spektrale Kopien, welche um $\frac{k}{T}$ zentriert sind. Jede spektrale Kopie wird mit einem von $f$ unabhängigen Faktor $\mathrm{si} \left(\pi T_0 \frac{k}{T}\right)$ skaliert.
Der Grenzübergang $T_0\rightarrow 0$ liefert hier die ideale Abtastung: $\lim\limits_{T_0\rightarrow 0}\left(\frac{1}{T_0}s_0(t)\right) = s_\mathrm{a}(t)$.
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## Flat-top Abtastung
Bei der Flat-top Abtastung wird in Intervallen endlicher Dauer abgetastet und der Signalwert dann um $T=\frac{1}{r}$ gehalten. Dieses Verfahren wird häufig in Analog-Digital-Wandlern eingesetzt. Das abgetastete Signal $s_0(t)$ ergibt sich somit zu
= S_\mathrm{a}(f) \cdot T \cdot \mathrm{si}(\pi f T) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\pi f T}
= \left[S(f) \ast \sum\limits_{k=-\infty}^\infty \delta(f-kr)\right] \cdot \mathrm{si}(\pi f T) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\pi f T}\text{.}
$$
In der Demonstration kann der Unterschied zwischen der Shape-top und der Flat-top Abtastung nocheinmal anschaulich betrachtet werden.
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## Beispiel
### Abtastung
Zunächst wird nocheinmal die [ideale Abtastung](GDET3%20Ideale%20Abtastung.ipynb) wiederholt. In der Abbildung ist als gestrichelte Linie das Signal $s(t)$ dargestellt, das zugehörige Spektrum in blau. Das Signal wird mit Abtastrate $r=2$ abgetastet.
Das abgetastete Signal
$s_\mathrm{a}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^\infty s(nT)\cdot\delta(t-nT)$ und das Spektrum des abgetasteten Signals
$S_\mathrm{a}(f) = \frac{1}{T} \sum\limits_{k=-\infty}^\infty S(f-kr)$ sind ebenfalls abgebildet.
Das Spektrum des abgetasteten Signals zeigt die für die Abtastung typischen spektralen Wiederholungen.
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``` python
# Construction of s(t) and corresponding spectrum S(f)
Durch die Multiplikation von $S_\mathrm{a}(f)$ mit $T \cdot \mathrm{si}(\pi f T) \cdot \mathrm{e}^{-j\pi f T}$ wird das Spektrum $S_0(f)$ im Basisband verzerrt. So ist es nicht möglich, $S(f)$ mittels eines einfachen idealen Tiefpasses zu rekonstruieren. Zusätzlich ist ein Filter nötig, welches diesen Faktor ausgleicht, dieses ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
$$
H_\mathrm{eq}(f) = \frac{1}{T \cdot \mathrm{si}(\pi f T) \cdot \mathrm{e}^{-j\pi f T}}
$$
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``` python
# Reconstruction filters #plt.close('all')
## Ideal Low pass to crop the base band
H_lp=rect(f/(r+0.001))# ideal low pass between -r/2 and r/2
## Equalizing filter to compensate the influence of si(...) and exp(...) terms in S_0(f)
Dieses Filter wird nun zur Rekonstruktion angewendet.
Das rekonstruierte Signal unter Verwendung des ausgleichenden Filters ist unten abgebildet. Das Originalsignal konnte erfolgreich rekonstruiert werden.
In der folgenden interaktiven Demonstration kann nun betrachtet werden, was der Unterschied zwischen der Flat-top und der Shape-top Abtastung ist.
Dargestellt sind untereinander:
* der Zeitbereich mit dem Originalsignal und dem abgestasteten Signal
* der zugehörige Frequenzbereich mit dem Originalspektrum, dem Spektrum des abgetasteten Signal und dem Rekonstruktionsfilter
* das rekonstruierte Spektrum
* das rekonstruierte Signal im Zeitbereich.
Im Drop-Down-Menü kann die Art der Abtastung (Shape-top oder Flat-top) sowie die abzutastende Funktion (Cosinus-, Sinus-und si-Funktion, sowie Rechteck- oder Dreieckimpuls) ausgewählt werden.
Über den Schieberegler kann $F$ geändert werden, was bei Cosinus-, Sinus- und si-Funktion die Frequenz und bei Rechteck- und Dreieckimpuls die Breite beeinflusst.
* Wie sieht das abgetastete Signal mit Shape-top Abtastung aus und wie mit Flat-top Abtastung?
* Welche Auswirkungen hat die Abtastungsart auf das Spektrum und die Rekonstruktion?
* Variiere $F$. Was passiert?
* Führe diese Beobachtung für unterschiedliche Funktionen aus.
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*Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung "Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2020, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University.
Für jede Musterfunktion ${}^k s(t)$ eines stochastischen Prozesses gilt bei Übertragung über ein LTI-System der Impulsantwort $h(t)$ das Faltungsprodukt ${}^k s(t)∗h(t)={}^{k}g(t)$. Wird ein Zufallssignal ${}^k n(t)$ über ein LTI-System übertragen, kann dies durch folgendes Blockschaltbild dargestellt werden:
Zunächst wird der gleichverteilte Rauschprozess über einen Tiefpass $h(t)$ mit Grenzfrequenz $f_\mathrm{g}$ übertragen. Der Betrag der Übertragungsfunktion ist in der nachfolgenden Grafik dargestellt.
%% Cell type:code id: tags:
``` python
# Filter requirements.
order=4
fg=500# desired cutoff frequency of the filter, Hz
Das Eingangssignal ${}^k n(t)$ ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Darunter befindet sich der Plot des tiefpassgefilterten Ausgangssignals. Beide Signale stehen auch als Hörbeispiel zur Verfügung. Der Effekt der Tiefpassfilterung ist sowohl optisch als auch akustisch deutlich zu erkennen.
Nun sei $h(t)$ ein Hochpass mit Grenzfrequenz $f_\mathrm{g}$, wie in der folgenden Abbildung dargestellt. Ein- und Ausgangssignal können auch hier angehört werden.
Nachfolgend wird noch die gemessene Verteilungsdichtefunktion des Rauschprozesses nach der Hochpassfilterung geplottet. Es ist zu erkennen, dass hier zwar eine eher gauß-verteilte Verteilungsdichte erzeugt wird, diese aber von der Breite und Höhe ähnlich zu der Gleichverteilung des Eingangsprozesses ist. Im Hörbeispiel ist auch zu hören, dass diese Hochpassfilterung auf das Rauschen einen sehr viel geringeren akustischen Einfluss hat, als die vorherige Tiefpassfilterung.
In dieser interaktiven GUI kann ausprobiert werden, welchen Effekt eine Hoch- oder Tiefpassfilterung auf einen gleichverteilten Rauschprozess haben. Über das Drop-Down-Menü kann der gewünschte Filtertyp ausgewählt werden. Die Grenzfrequenz des Filters ist über den Schieberegler anpassbar.
Geplottet wird die erzeugte Verteilungsdichtefunktion des Ausgangssignal $p_g(x)$, ebenso kann der Effekt der Filterung angehört werden.
* Höre dir zur Erinnerung nocheinmal das Eingangssignal an.
* Wähle eine kleine Grenzfrequenz aus. Wie hört sich das tiefpassgefilterte Signal im Vergleich zum Eingangssignal an, wie das hochpassgefilterte?
* Erhöhe die Grenzfrequenz. Welchen Effekt hat dies auf das tiefpass- bzw hochpassgefilterte Signal?
* Betrachte ebenfalls die Verteilungsdichtefunktion $p_g(x)$ des gefilterten Signals. Kannst du das Verhalten der Verteilungsdichten erklären?
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Zum Starten: Im Menü: Run <spanclass="fa-chevron-right fa"></span> Run All Cells auswählen.
In diesem Beispiel wird die Übertragung eines Eingangssignal $s(t)$ über ein System mit der Impulsantwort $h(t)$ und der zugehörigen Übertragungsfunktion $H(f)$ gezeigt.
## Eingangssignal
Das verwendete Eingangssignal ist ein Rechteck mit der Breite $T_0=4$:
$\displaystyle s(t) = \frac{1}{T_0}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T_0}\right)$. Dieses ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Das System hat die Impulsantwort $\displaystyle h(t) = \frac{1}{T}\varepsilon(t)\mathrm{e}^{-t/T}$ und die Übertragungsfunktion $\displaystyle H(f) = \frac{1}{1+\mathrm{j}2 \pi f T}$ mit $T=RC$. Der Betrag der Übertragungsfunktion ist nachfolgend geplottet.
Anstatt im Zeitbereich eine Faltung durchzuführen, kann das Ergebnis auch über eine Multiplikation im Frequenzbereich berechnet werden. Hierfür muss die Fouriertransformierte $S(f)$ des Eingangssignals mit der Übertragungsfunktion $H(f)$ des Systems multipliziert werden:
$G(f) = S(f) H(f)$
Aus $G(f)$ kann dann mittels Rücktransformation $G(t)$ berechnet werden.
In dieser Demo kann das Verhalten der Übertragung eines Rechteckimpuls über ein System mit der Impulsantwort $h(t)$ bei Variation der Breite $T_0$ des Rechteckimpulses betrachtet werden. Auf der linken Seite sind die Eingangsfunktion $s(t)$, sowie der Betrag der Übertragungsfunktion $|S(f)|$ dargestellt. Auf der rechten Seite ist oben die Impulsantwort $h(t)$ des Systems sowie das resultierende Ausgangssignal $g(g)$ im Zeitbereich zu sehen. Darunter sind die zugehörigen Beträge der Funktionen im Frequenzbereich dargestellt.
* Variiere $T_0$. Wie sieht der Rechteckimpuls bei kleinen Werten, wie bei großen Werten aus?
* Was passiert bei Änderung von $T_0$ mit dem Betrag der Übertragungsfunktion $|S(f)|$?
* Wie ändert sich das Ausgangssignal $g(t)$ mit kleiner werdendem $T_0$? Was passiert im Frequenzbereich?
* Das kleinstmögliche $T_0$ ist hier 0.1. Wieso überlagern sich die Kurven für $g(t)$ und $h(t)$ bzw in diesem Fall fast?
* Was würde passieren, wenn $T_0$ noch kleiner wird? Wie sähe die zugehörige Übertragungsfunktion des Eingangssignals $|S(f)|$ aus?
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