GDET3 Verteilungsfunktion.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "jupyter": {
     "source_hidden": true
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Copyright 2020 Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University\n",
    "%matplotlib widget\n",
    "\n",
    "from ipywidgets import interact, interactive, Layout\n",
    "import ipywidgets as widgets\n",
    "\n",
    "import numpy as np\n",
    "import scipy as sp\n",
    "import scipy.special # erfc(x)\n",
    "\n",
    "from ient_nb.ient_plots import *\n",
    "from ient_nb.ient_signals import *\n",
    "from ient_nb.ient_audio import *\n",
    "\n",
    "import matplotlib\n",
    "from matplotlib.patches import ConnectionPatch\n",
    "highlight_args = {'color':'rot', 'marker':'o'}; arrow_args = {'width':1,'headlength':10,'headwidth':10,'fc':'rot'}\n",
    "anno_args = {'color':'rot', 'linestyle':'--', 'arrowstyle':\"-\", 'coordsA':'data', 'coordsB':'data'}"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "<div>\n",
    "    <img src=\"ient_nb/figures/rwth_ient_logo@2x.png\" style=\"float: right;height: 5em;\">\n",
    "</div>\n",
    "\n",
    "# Verteilungsfunktion und Verteilungsdichtefunktion\n",
    "\n",
    "Zum Starten: Im Menü: Run <span class=\"fa-chevron-right fa\"></span> Run All Cells auswählen.\n",
    "\n",
    "## Einleitung\n",
    "Bei der Betrachtung einer Schar von Zufallssignalen ${}^k s(t)$ ist eine Beschreibung über die tatsächlichen Amplitudenwerte oft wenig sinnvoll. Statt dieser werden deswegen die statistischen Eigenschaften betrachtet. Grundlegende Aussagen über ein Signal können aus der Verteilungs- und der Verteilungsdichtefunktion gewonnen werden. Ebenso relevant sind der Mittelwert $m_s$, die Standardabweichung $\\sigma_s$ und die Frequenz $F$.\n",
    "\n",
    "### Verteilungsfunktion\n",
    "Die Verteilungsfunktion $P_s(x,t_1)$ gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass das Signal zum Zeitpunkt $t_1$ einen Wert kleiner oder gleich $x$ annimmt: \n",
    "\n",
    "$$P_s(x,t_1) = \\mathrm{Prob}\\left[s(t_1) \\leq x\\right]$$\n",
    "\n",
    "Ist das Signal ein stationäres Signal, gilt dies für alle Zeitpunkte $t$:\n",
    "$$P_s(x) = \\mathrm{Prob}\\left[s(t) \\leq x\\right]$$ \n",
    "\n",
    "Für einen stationären Prozess gilt, dass alle möglichen Mittelwerte unabhängig von der Verschiebung des Beobachtungszeitpunktes sind. Ein Prozess, der zwar im strengen Sinn der Definition nicht-stationär ist, dessen Autokorrelationsfunktion aber nur von der Differenz der Abtastzeiten abhängt und dessen Mittelwert zeitunabhängig ist, wird auch *stationär im weiten Sinn* oder *schwach stationär* genannt.\n",
    "\n",
    "Erfüllt ein Signal zusätzlich die Eigenschaft, dass die Scharmittelwerte den Zeitmittelwerten entsprechen, ist das Signal *ergodisch*.\n",
    "Es gilt dann: \n",
    "$$P_s(x) = \\frac{1}{2T}\\sum_i \\Delta t_i(x)$$\n",
    "\n",
    "### Verteilungsdichtefunktion\n",
    "Die Verteilungsdichtefunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmter Wert $x$ auftritt. Sie kann aus der Verteilungsfunktion durch Ableitung gewonnen werden:\n",
    "$$p_s(x) = \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x} P_s(x)$$\n",
    "\n",
    "Typische Verteilungsdichtefunktionen sind die Gleichverteilung und die Gauß-Verteilung. \n",
    "\n",
    "### Mittelwert, Leistung und Standardabweichung\n",
    "Der Mittelwert $m_s$ eines Signals ist der Erwartungswert:\n",
    "$$m_s=\\mathcal{E}\\{s(t)\\}=\\int_{-\\infty}^{\\infty}xp_s(x)\\mathrm{d}x$$\n",
    "Der Mittelwert eines ergodischen Prozesses entspricht dem Gleichanteil des Signals. \n",
    "\n",
    "Die Leistung $L_s$ eines Signals ist definiert als\n",
    "$$L_s=\\mathcal{E}\\{s^2(t)\\}=\\int_{-\\infty}^{\\infty}x^2p_s(x)\\mathrm{d}x\\text{.}$$\n",
    "\n",
    "Die Standardabweichung $\\sigma_s$ kann nun aus Mittelwert und Leistung berechnet werden:\n",
    "$$\\sigma_s=\\sqrt{L_s-m_s^2}$$\n",
    "\n",
    "In der Formelsammlung können die Zusammenhänge zwischen Verteilungsdichtefunktion, Mittelwert, Leistung und Standardabweichung für Gauß- und gleichverteilte stationäre Prozesse gefunden werden. "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Signale\n",
    "Im Folgenden werden einige Signale beispielhaft betrachtet. Hierzu wird im folgenden Fenster eine $t$-Achse generiert und weitere [Elementarsignalen](GDET3%20Elementarsignale.ipynb) sowie einige Verteilungsdichtefunktionen definiert."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "jupyter": {
     "source_hidden": true
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "fs = 44100;\n",
    "(t, deltat) = np.linspace(-10, 10, 20*fs, retstep=True) # t axis in seconds\n",
    "Amax = 6 # limit of histogram (the total range would be from -Amax to Amax)\n",
    "(x, deltax) = np.linspace(-Amax, Amax, 4001, retstep=True) # x axis (corresponds to amplitude)\n",
    "\n",
    "rect_sum = lambda t: unitstep(np.cos(np.pi*t))\n",
    "tri_sum  = lambda t: np.abs(np.mod(t,2)-1)\n",
    "\n",
    "gaussian_pdf = lambda x, ms, sigmas: 1/(sigmas*np.sqrt(2*np.pi)) * np.exp(-(x-ms)**2/(2*sigmas**2))\n",
    "gaussian_pf  = lambda x, ms, sigmas: 0.5*sp.special.erfc((ms-x)/np.sqrt(2*sigmas**2))\n",
    "uniform_pdf  = lambda x, ms, a: 1/a* rect((x-ms)/a)\n",
    "uniform_pf   = lambda x, ms, a: rect((x-ms)/a)*((x-ms)/a+1/2)+unitstep(x-(ms+a/2))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Zunächst wird eine gleichverteilte Dreiecksfolge betrachtet. In der folgenden Abbildung kann sowohl das Dreieckssignal $s(t)$ als auch die zugehörige Verteilungsdichte $p_s(x)$ betrachtet werden. Ebenso kann das entstehende Signal als Audiofile angehört werden. "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "jupyter": {
     "source_hidden": true
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "F = 500 # frequency\n",
    "s = tri_sum(2*F*t); # sum of triangles\n",
    "fig, axs = plt.subplots(1, 2); \n",
    "ax = axs[0]; ax.plot(1000*t, s, 'rwth');\n",
    "ax.set_xlim([-4.5,4.5]); ax.set_ylim([-0.1,1.1]);\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow t$ [ms]'); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow s(t)$'); ient_axis(ax);\n",
    "ax = axs[1]; ax.plot(x, rect(x-1/2), 'rwth');\n",
    "ax.set_xlim([-0.25,1.25]); ax.set_ylim([-0.1,1.1]);\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow x$'); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow p_s(x)$'); ient_axis(ax);\n",
    "\n",
    "ient_audio_play(s, fs)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Als nächstes wird gleichverteiltes weißes Rauschen betrachtet, welches dieselbe Verteilungsdichtefunktion hat. Hört man sich dieses Signal ebenfalls an, ist zu bemerken, dass die Signale trotz gleicher Verteilungsdichtefunktion sehr unterschiedlich sind."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "jupyter": {
     "source_hidden": true
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "s = np.random.uniform(0, 1, len(t)); # sample uniform distribution between smin = 0 and smax = 1\n",
    "\n",
    "# Plot\n",
    "fig, axs = plt.subplots(1, 2); \n",
    "ax = axs[0]; ax.plot(1000*t, s, 'rwth');\n",
    "ax.set_xlim([-4.5,4.5]); ax.set_ylim([-0.1,1.1]);\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow t$'); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow {}^k s(t)$'); ient_axis(ax);\n",
    "\n",
    "ax = axs[1]; ax.plot(x, rect(x-1/2), 'rwth');\n",
    "ax.set_xlim([-0.25,1.25]); ax.set_ylim([-0.1,1.1]);\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow x$'); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow p_s(x)$'); ient_axis(ax);\n",
    "\n",
    "ient_audio_play(s, fs)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Eine ausführlichere Demo zur Verteilungs- und Verteilungsdichtefunktion findet man [hier](GDET3%20Verteilungsfunktion%20GUI.ipynb)."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "___\n",
    "This notebook is provided as [Open Educational Resource](https://en.wikipedia.org/wiki/Open_educational_resources) (OER). Feel free to use the notebook for your own purposes. The code is licensed under the [MIT license](https://opensource.org/licenses/MIT). \n",
    "\n",
    "Please attribute the work as follows: \n",
    "*Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung \"Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme\"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2020, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University."
   ]
  }
 ],
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  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.8.1"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 4
}