GDET3 Elementarsignale.ipynb

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    "jupyter": {
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    }
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    "# Copyright 2020 Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University\n",
    "%matplotlib widget\n",
    "\n",
    "from ipywidgets import interact, interactive\n",
    "import ipywidgets as widgets\n",
    "\n",
    "from ient_nb.ient_plots import *\n",
    "from ient_nb.ient_signals import *"
   ]
  },
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    "<div>\n",
    "    <img src=\"ient_nb/figures/rwth_ient_logo@2x.png\" style=\"float: right;height: 5em;\">\n",
    "</div>\n",
    "\n",
    "# Elementarsignale\n",
    "Ein Signal ist im Allgemeinen die Darstellung des Amplitudenverlaufs einer physikalischen Größe, wie z. B. einer elektrische Spannung, Feldstärke oder auch eines Schalldrucks, Helligkeitsverlaufs, Lichtpegels usw. Häufig werden als Signale Zeitfunktionen solcher Größen benutzt, aber auch andere Abhängigkeiten,wie z. B. Ortsabhängigkeiten bei Bildsignalen, sind möglich. Speziell in der Nachrichtentechnik hat das Signal als Träger einer dem Empfänger unbekannten Information zumeist Zufallscharakter. Aufbauelemente (Elementarkomponenten) solcher Zufallssignale sind aber häufig die determinierten Signale, deren Verlauf zumindest im Prinzip durch einen geschlossenen Ausdruck vollständig beschrieben werden kann.\n",
    "Ein Elementarsignal ist ein Signal mit einer besonders einfachen Form. Sie können technisch oft recht einfach erzeugt werden und werden vielfach auch zur Ermittlung der Eigenschaften von Systemen verwendet.\n",
    "\n",
    "Im Folgenden werden einige Elementarsignale aufgeführt."
   ]
  },
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    "## Signale\n",
    "       \n",
    "\n",
    "### Gauß-Signal\n",
    "\n",
    "Ein Beispiel für ein Elementarsignal, das durch einen algebraischen Ausdruck ausgedrückt wird, ist das Gaußsignal $\\displaystyle s(t) = \\mathrm{e}^{\\pi t^2}$."
   ]
  },
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   "source": [
    "fig,ax = plt.subplots(1,1); ax.plot(t, gauss(t), 'rwth');\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow t$'); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow s(t)=\\mathrm{e}^{-\\pi t^2}$', bbox=ient_wbbox)\n",
    "ax.axis('equal'); ax.set_xlim([-2.75, 2.75]); ient_grid(ax); ient_axis(ax);"
   ]
  },
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   "source": [
    "### Sprungfunktion\n",
    "Die Sprungfunktion wird beschrieben durch\n",
    "$\\epsilon(t)=\\begin{cases}\n",
    "    0\\quad\\text{für}\\ t<0 \\\\\n",
    "    1\\quad\\text{für}\\ t\\geq 0 \\text{ .}\n",
    "\\end{cases}$\n",
    "\n",
    "Ein Beispiel für eine Sprungfunktion ist der Spannungsverlauf an einem Ohm’schen Widerstand, der zur Zeit $t= 0$ an eine Gleichspannungsquelle geschaltet wird. "
   ]
  },
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    "fig,ax = plt.subplots(1,1); ax.plot(t, unitstep(t), 'rwth'); \n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow t$'); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow s(t)=\\epsilon(t)$', bbox=ient_wbbox)\n",
    "ax.axis('equal'); ax.set_xlim([-2.25,2.25]); ient_grid(ax); ient_axis(ax);"
   ]
  },
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   "source": [
    "### Rechteckimpuls\n",
    "Der Rechteckimpuls wird definiert als \n",
    "$\\mathrm{rect}(t) = \\begin{cases}\n",
    "    1\\quad\\text{für}\\ |t| \\leq 1/2\\\\\n",
    "    0\\quad\\text{für}\\ |t| > 1/2\\text{ .}\n",
    "\\end{cases}$"
   ]
  },
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   "source": [
    "fig,ax = plt.subplots(1,1); ax.plot(t, rect(t), 'rwth');\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow t$'); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow s(t)=\\mathrm{rect}(t)$', bbox=ient_wbbox)\n",
    "ax.axis('equal'); ax.set_xlim([-2.25,2.25]); ient_grid(ax); ient_axis(ax);"
   ]
  },
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    "### Dreieckimpuls\n",
    "Der Dreieckimpuls wird definiert als\n",
    "$\\Lambda(t) = \\begin{cases}\n",
    "  1-|t|\\quad\\text{für}\\ |t|\\leq 1\\\\\n",
    "  0\\quad\\text{für}\\ |t| > 1\\text{ .}\n",
    "\\end{cases}$"
   ]
  },
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    "fig,ax = plt.subplots(1,1); ax.plot(t, tri(t), 'rwth');\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow t$'); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow s(t)=\\Lambda(t)$', bbox=ient_wbbox)\n",
    "ax.axis('equal'); ax.set_xlim([-2.25,2.25]); ient_grid(ax); ient_axis(ax);"
   ]
  },
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   "source": [
    "### si-Funktion\n",
    "Die si-Funktion ist definiert als $\\displaystyle \\mathrm{si}(t) = \\frac{\\sin(t)}{t}$\n",
    "\n",
    "Die si-Funktion ist auch als Spaltfunktion bekannt, da in optischen Systemen und Antennensystemen ein Spalt als räumliche rect-Funktion beschrieben werden kann (Bracewell, 1986). Sie hat außerdem die besondere Eigenschaft, sich bei Faltung mit sich selbst zu reproduzieren: $\\mathrm{si*\\pi}(t)=\\mathrm{si*\\pi}(t)*\\mathrm{si*\\pi}(t)$."
   ]
  },
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    "fig,ax = plt.subplots(1,1); ax.plot(t, si(np.pi*t), 'rwth');\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow t$'); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow s(t)=\\mathrm{si}(\\pi t)$', bbox=ient_wbbox)\n",
    "ax.set_xlim([-5.5,5.5]); ient_grid(ax); ient_axis(ax);"
   ]
  },
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    "## Zeitverschiebung, -dehnung und -spiegelung"
   ]
  },
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   "source": [
    "Jedes Signal $s(t)$ kann verschoben, gedehnt/gestaucht und/oder gespiegelt werden. Im Folgenden werden die Effekte dieser Operationen auf das Signal verdeutlicht. Als grundlegende Form wird \n",
    "$\\displaystyle s\\left(\\pm\\frac{t-t_0}{T}\\right)$\n",
    "gewählt. Hierbei steht $t_0$ für die Verschiebung des Signals, $T$ für die Dehnung/Stauchung und $\\pm$ beschreibt die Spiegelung.\n",
    "\n",
    "### Zeitverschiebung\n",
    "Als Beispiel wird ein verschobener Rechteckimpuls $s(t) = \\mathrm{rect}\\left(t-\\frac{1}{2}\\right)$ betrachtet. Die Funktion $\\mathrm{rect}(t)$ hat die Breite 1 und ist um $0$ zentriert, der um $t_0=\\frac{1}{2}$ verschobene Rechteckimpuls ist in Abbildung 6 dargestellt. \n",
    "\n",
    "#### Aufgabe\n",
    "Verändere den Wert $t_0$. Wie ändert sich die geplottete Funktion? Was passiert für negative Werte von $t_0$?"
   ]
  },
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    "s = lambda t: rect(t-1/2)\n",
    "\n",
    "# Plot\n",
    "fig,ax = plt.subplots(1,1); ax.plot(t, s(t), 'rwth');\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow t$'); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow s(t)$', bbox=ient_wbbox)\n",
    "ax.axis('equal'); ax.set_xlim([-2.25,2.25]); ient_grid(ax); ient_axis(ax);"
   ]
  },
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    "### Dehnung/Stauchung\n",
    "Als nächstes wird die Dehnung eines Rechteckimpulses betrachet. Dies geschieht über den Faktor $T$. Die folgende Abbildung zeigt den mit $T=2$ gedehnten Rechteckimpuls $s(t) = \\mathrm{rect}\\left(\\frac{t}{2}\\right)$. Der normale Rechteckimpuls hat die Breite 1, der hier dargestellte erhält entsprechend die Breite $T*1=2$. \n",
    "\n",
    "#### Aufgabe\n",
    "Ändere den Wert für $T$. Was passiert mit der dargestellten Funktion? Was passiert für Werte von $|T| < 1$?\n",
    "\n",
    "Ersetze den Rechteckimpuls durch einen Dreiecksimpuls $\\Lambda(t) = \\begin{cases}\n",
    "  1-|t|\\quad\\text{für}\\ |t|\\leq 1\\\\\n",
    "  0\\quad\\text{für}\\ |t| > 1\\text{ .}\n",
    "\\end{cases}$. \n",
    "\n",
    "Ersetze hierfür rect durch tri. Wie breit wird die dargestellte Funktion für $T=2$?"
   ]
  },
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   "outputs": [],
   "source": [
    "s = lambda t: rect(t/2)\n",
    "\n",
    "# Plot\n",
    "fig,ax = plt.subplots(1,1); ax.plot(t, s(t), 'rwth');\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow t$'); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow s(t)$', bbox=ient_wbbox)\n",
    "ax.axis('equal'); ax.set_xlim([-2.25,2.25]); ient_grid(ax); ient_axis(ax);"
   ]
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    "### Zeitspiegelung\n",
    "Zur Verdeutlichung der Zeitspiegelung wird das in der folgenden Abbildung dargestellte Signal $s(t) = t \\cdot \\mathrm{rect}\\left(t-\\frac{1}{2}\\right)$ betrachtet."
   ]
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    "s = lambda t: rect(t-0.5)*t\n",
    "\n",
    "# Plot\n",
    "fig,ax = plt.subplots(1,1); ax.plot(t, s(t), 'rwth');\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow t$'); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow s(t)$', bbox=ient_wbbox)\n",
    "ax.axis('equal'); ax.set_xlim([-2.25,2.25]); ient_grid(ax); ient_axis(ax);"
   ]
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    "Betrachte nun $s(-t)$ in der folgenden Abbildung. Das negative Vorzeichen bewirkt eine Spiegelung des Signals an der y-Achse. "
   ]
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    "# Plot\n",
    "fig,ax = plt.subplots(1,1); ax.plot(t, s(-t), 'rwth');\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow t$'); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow s(-t)$', bbox=ient_wbbox)\n",
    "ax.axis('equal'); ax.set_xlim([-2.25,2.25]); ient_grid(ax); ient_axis(ax);"
   ]
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   "source": [
    "Zur Verdeutlichung von Zeitspiegelung, -dehnung und -spiegelung ist zusätzlich eine [interaktive Demo](GDET3%20Zeitverschiebung-Dehnung%20GUI.ipynb) verfügbar."
   ]
  },
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   "source": [
    "---\n",
    "This notebook is provided as [Open Educational Resource](https://en.wikipedia.org/wiki/Open_educational_resources) (OER). Feel free to use the notebook for your own purposes. The code is licensed under the [MIT license](https://opensource.org/licenses/MIT). \n",
    "\n",
    "Please attribute the work as follows: \n",
    "*Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung \"Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme\"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2020, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University."
   ]
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