GDET3 Diskrete Fourier-Transformation.ipynb 6.09 KB
Newer Older
Christian Rohlfing's avatar
Christian Rohlfing committed
1
2
3
4
5
{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
6
7
8
9
10
   "metadata": {
    "jupyter": {
     "source_hidden": true
    }
   },
Christian Rohlfing's avatar
Christian Rohlfing committed
11
12
   "outputs": [],
   "source": [
13
    "# Copyright 2020 Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University\n",
14
    "%matplotlib widget\n",
Christian Rohlfing's avatar
Christian Rohlfing committed
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
    "\n",
    "from ient_nb.ient_plots import *"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "<div>\n",
    "    <img src=\"ient_nb/figures/rwth_ient_logo@2x.png\" style=\"float: right;height: 5em;\">\n",
    "</div>\n",
    "\n",
27
28
29
30
31
    "# Diskrete Fourier-Transformation\n",
    "\n",
    "Die Fourier-Transformation zeitdiskreter Signale $s(n)$ ergibt ein frequenzkontinuierliches Spektrum $S_a(f)$. Dieses Spektrum kann bei einer numerischen Berechnung aber nur für endlich viele diskrete Frequenzen berechnet werden. Deswegen wurde die *diskrete Fouriertransformation (DFT)* eingeführt, die von vornherein einem zeitdiskreten Signal ein frequenzdiskretes Spektrum zuordnet. Diese DFT ist in der Signalverarbeitung besonders bedeutungsvoll geworden, weil für ihre Berechnung in Form der *schnellen Fourier-Transformation (FFT)* sehr effiziente Algorithmen zur Verfugung stehen. Die diskrete Fouriertransformation kombiniert die Abtastung im Zeit- und im Frequenzbereich. Im Grunde genommen ist die DFT aber das zeitdiskrete ̈Äquivalent zur Fourier-Reihenentwicklung, d. h. die analysierten abgetasteten Signale werden implizit so interpretiert, als seien sie periodisch fortgesetzt.\n",
    "\n",
    "Das zeitdiskrete Signal $s_d(n)$ sei auf $M$, in diesem Fall $M=17$ Werte begrenzt. Der nachfolgende Plot zeigt das verwendete Signal. Es wird angenommen, dass dieses Signal sich periodisch mit der Periode $M$ wiederholt. "
Christian Rohlfing's avatar
Christian Rohlfing committed
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "M = 17\n",
    "n = np.arange(0, M)\n",
    "k = n\n",
    "n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sd = np.array([1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1]) # s(n)\n",
    "hd = sd\n",
    "\n",
    "# Plot\n",
    "fig,ax = plt.subplots()\n",
    "ient_stem(ax, n, sd, 'rwth')\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow n$', bbox=ient_wbbox); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow s_\\mathrm{d}(n)$', bbox=ient_wbbox); \n",
    "ax.set_ylim([-0.09,1.09]); ient_axis(ax)"
   ]
  },
62
63
64
65
66
67
68
69
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Für das dargestellte Signal $s_d(n)$ kann nun mittels der diskreten Fouriertransformation das Spektrum \n",
    "$$\n",
    "\\displaystyle S_d(k)=\\sum_{n=0}^{M-1}s_d(n)\\mathrm{e}^{-\\mathrm{j}2\\pi kFn} \\quad k=0,...,M-1\n",
    "$$\n",
Iris Heisterklaus's avatar
Iris Heisterklaus committed
70
    "berechnet werden. Dies ist in der nachfolgenden Abbildung zu sehen. Da das Spektrum $S_d(k)$ ebenfalls periodisch ist, reicht die Berechnung der $M$ Spektralwerte einer Periode aus. Tatsächlich realisiert wird die Berechnung hier mittels der FFT. J"
71
72
   ]
  },
Christian Rohlfing's avatar
Christian Rohlfing committed
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "M = len(n)\n",
    "Sd = np.real(np.fft.fft(sd, M)) # np.real() discards very small negative values\n",
    "Hd = np.real(np.fft.fft(hd, M)) \n",
    "\n",
    "# Plot\n",
    "fig,ax = plt.subplots()\n",
    "ient_stem(ax, k, Sd, 'rwth')\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow k$', bbox=ient_wbbox); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow S_\\mathrm{d}(k)$', bbox=ient_wbbox); \n",
    "ax.set_ylim([-1.9,7.9]); ient_axis(ax)"
   ]
  },
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Für die Rücktransformation in den Zeitbereich gilt dann\n",
    "$$\n",
    "\\displaystyle s_d(n)=\\frac{1}{M}\\sum_{k=0}^{M-1}S_d(k)\\mathrm{e}^{\\mathrm{j}2\\pi kFn} \\quad n=0,...,M-1 \\text{ .}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "\n",
Iris Heisterklaus's avatar
Iris Heisterklaus committed
100
101
    "## Faltung durch Multiplikation im Frequenzbereich\n",
    "Auch bei der DFT ist es möglich, die Faltung durch Multiplikation im Frequenzbereich durchzuführen. Im folgenden Beispiel wird das Spektrum $S_d(k)$ mit sich selbst multipliziert, was einer Faltung des Signals $s_d(n)$ mit sich selbst entspricht. In der folgenden Abbildung sieht man zunächst das resultierende Spektrum $G_d(k)$ und das durch Rücktransformation gewonnene Signal $g_d(n)$. Da $s_d(n)$ diskrete Rechteckimpulse waren, sind hier nun diskrete Dreieckimpulse zu erkennen, welche sich aus der Faltung der Rechteckimpulse ergeben."
102
103
   ]
  },
Christian Rohlfing's avatar
Christian Rohlfing committed
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "Gd = Sd * Hd\n",
    "\n",
    "# Plot\n",
    "gd = np.real(np.fft.ifft((Gd)))\n",
    "fig,axs = plt.subplots(2,1)\n",
    "\n",
    "ax = axs[0]; ient_stem(ax,k,Gd, 'rwth')\n",
Christian Rohlfing's avatar
Christian Rohlfing committed
117
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow k$', bbox=ient_wbbox); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow G_\\mathrm{d}(k)$', bbox=ient_wbbox); \n",
Christian Rohlfing's avatar
Christian Rohlfing committed
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
    "ax.set_ylim([-1,59]); ient_axis(ax)\n",
    "\n",
    "ax = axs[1]; ient_stem(ax,n,gd, 'rwth')\n",
    "ax.set_xlabel(r'$\\rightarrow n$', bbox=ient_wbbox); ax.set_ylabel(r'$\\uparrow g_\\mathrm{d}(n)$', bbox=ient_wbbox); \n",
    "ax.set_ylim([-0.09,8.9]); ient_axis(ax)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
129
    "---\n",
Christian Rohlfing's avatar
Christian Rohlfing committed
130
131
132
    "This notebook is provided as [Open Educational Resource](https://en.wikipedia.org/wiki/Open_educational_resources) (OER). Feel free to use the notebook for your own purposes. The code is licensed under the [MIT license](https://opensource.org/licenses/MIT). \n",
    "\n",
    "Please attribute the work as follows: \n",
133
    "*Christian Rohlfing, Übungsbeispiele zur Vorlesung \"Grundgebiete der Elektrotechnik 3 - Signale und Systeme\"*, gehalten von Jens-Rainer Ohm, 2020, Institut für Nachrichtentechnik, RWTH Aachen University."
Christian Rohlfing's avatar
Christian Rohlfing committed
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
153
   "version": "3.8.1"
Christian Rohlfing's avatar
Christian Rohlfing committed
154
155
156
  }
 },
 "nbformat": 4,
157
 "nbformat_minor": 4
Christian Rohlfing's avatar
Christian Rohlfing committed
158
}